梁截面切应力的计算公式建筑力学

(1)矩形截面梁的切应力

对于高度h大于宽度b的矩形截面梁,其横截面上的剪力FQ沿y轴方向,如图10.18(a)所示。为了简化讨论,假设切应力的分布规律如下:

①横截面上各点处的切应力τ都与剪力FQ方向一致;

②横截面上距中性轴等距离各点处切应力大小相等,即沿截面宽度为均匀分布,如图10.18(b)所示。

图10.18

根据以上假设,可以推导出矩形横截面上距中性轴y处的切应力计算公式:

式中,FQ为横截面上的剪力,Iz为截面对中性轴的惯性矩,b为截面宽度,为截面上距中性轴y处的水平线以上(或以下)部分的面积A∗对中性轴的静矩。

对于同一截面,FQ,Iz及b都为常量。因此,横截面上的切应力τ是随静矩的变化而变化的。由附录Ⅰ(截面的几何性质部分)可知,S∗z等于中性轴y处的水平线以上(或以下)部分的面积A∗与该部分形心到中性轴距离的乘积,即

因此,切应力的计算公式可写成

该式表明,切应力沿截面高度按二次抛物线规律分布,如图10.18(c)所示。在上、下边缘各点处,,切应力为零;在中性轴上的各点,y=0,切应力最大,其值为

将代入上式,可得

由此可见,矩形截面上的最大切应力是平均切应力的1.5倍。

(2)工字形截面梁的切应力

工字形截面梁由两块翼缘和一块腹板组成,如图10.19(a)所示。工字形截面的翼缘和腹板上都有切应力。翼缘上的切应力分布较为复杂,除了有平行于y轴方向的切应力,还有平行于z轴方向的切应力。与腹板所承担的切应力相比,翼缘所承担的切应力是极其微小的,因此,一般不计算翼缘上的切应力。

腹板是连接上、下翼缘的狭长矩形,因此腹板部分的切应力分布和矩形截面一样,切应力方向与y轴平行,沿腹板厚度d是均匀的。切应力可按矩形截面的切应力公式计算,即

式中,FQ为横截面上的剪力,Iz为截面对中性轴的惯性矩,d为腹板的宽度,为截面上距中性轴y处的水平线以上(或以下)部分〔图10.19(a)中的阴影部分〕的面积A∗对中性轴的静矩。

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图10.19

由上式可求得切应力τ沿腹板高度按抛物线规律变化,如图10.19(b)所示。最大切应力发生在中性轴上,其值为

式中,为工字形截面中性轴以下(或以上)面积对中性轴的静矩,其大小为

对于热轧工字钢,可由型钢表中查得。

在与翼缘互接处各点的切应力最小,且

式中,为上翼缘(或下翼缘)部分的面积对中性轴的静矩,其大小为

由于腹板的宽度d远小于翼缘的宽度,对τmax和τmin的计算式进行比较,可以看出,腹板上的切应力τmax和τmin相差很小,可以认为在腹板上切应力大致是均匀分布的。因此,腹板上的最大切应力也可以近似地用下面的公式计算,即

此式就是工字形截面最大切应力的实用计算公式,在工程设计中偏安全的。

(3)圆形和圆环形截面梁的最大切应力

圆形和圆环形截面梁的切应力情况比较复杂,但可以证明,其竖向切应力τ也是沿截面高度按二次抛物线规律分布的,并且最大切应力同样发生在中性轴上的各点,如图10.20所示。

图10.20

圆形截面的最大切应力

式中,FQ为横截面上的剪力,A为圆形截面的面积。可见,圆形截面梁横截面上的最大切应力为其平均切应力的倍。

圆环形截面的最大切应力

式中,A为圆环形截面的面积。薄壁圆环形截面梁横截面上的最大切应力为其平均切应力τ的2倍。