《建筑力学（第2版）》简捷画剪力图和弯矩图

8.3节讨论了通过内力方程绘制梁在集中力、集中力偶和分布荷载单独作用下的剪力图和弯矩图。但是当梁上作用有多个荷载时,如图8.19(a)所示,再分段列方程求各截面处的剪力和弯矩就变得非常烦琐。由8.3节例题的求解过程会发现,列出内力方程后,需至少求解两个点,即x=0,x=l或其他特殊点的剪力、弯矩值,这些数值恰是图形出现转折时的控制值或外边缘值,而这些剪力、弯矩值所在的位置(x=0,x=l等)即为控制剪力、弯矩图的截面位置,将这些截面称为控制截面。通过简易法计算这些控制截面处的剪力、弯矩值,然后依据由荷载集度、剪力、弯矩之间的微分关系导出的内力图特征将控制截面值连线,从而省略列方程的过程,可以快速地绘制出梁的剪力图和弯矩图。

各控制截面位置的选取可参考如下:

①梁的两端取左端偏右、右端偏左两个边缘控制截面,如图8.20所示。

图8.20

②梁上集中力、集中力偶作用处,取偏左、偏右两控制截面,如图8.21所示。

图8.21

图8.22

③分布荷载作用处取起点和止点,如图8.22所示。

④特殊点,如剪力图中FQ=0时的位置,弯矩将出现极值。

上述规定中,偏左、偏右两点间的位置实际上无限接近,因此绘图时,两控制截面的数值在同一点处上下浮动。

【例8.10】　运用简捷法绘制如图8.23(a)所示外伸梁的剪力图、弯矩图。

图8.23

【解】　①计算支座反力。

②取控制截面。如图8.23(b)所示共计6个截面位置,其中B处的支座反力FBy是向上的集中力,因此仍按规定取该点的偏左、偏右两个控制截面。

③利用简易法直接求出各控制点截面的剪力如下:

FQ1=0,FQ2=-8kN,FQ3=12kN,FQ4=12kN,FQ5=-8kN,FQ6=-8kN

各控制点截面的弯矩如下:

M1=0,M2=-8kN·m,M3=-8kN·m,M4=16kN·m,M5=16kN·m,M6=0

④绘出剪力图和弯矩图。根据上面计算出的各点的内力值,顺次连接1—6点得剪力图和弯矩图,如图8.23(c)、(d)所示。

【例8.11】　绘制图8.24(a)所示简支梁的剪力图和弯矩图。

【解】　①计算支座反力。

由∑MB(F)=0,即-FAy×8+4×7+2×4×4+8=0,得

FAy=8.5kN　(↑)

由∑Fy=0,即FAy+FBy-4-2×4=0,得

FBy=3.5kN　(↑)

经校核∑MA(F)=3.5×8+8-2×4×4-4×1=0,说明上述支座反力计算正确。

图8.24

②绘制剪力图:

在1—2区段内,无荷载作用,剪力图是水平线。取左段隔离体,按照内力规律规定:顺转外力产生顺转的正剪力,得FQ1=FQ2=8.5kN。

在2—3截面处有集中力作用,剪力图将发生突变,突变值等于集中力的大小。

在3—4区段内,无荷载作用,剪力图是水平线,取左段隔离体,而3—4截面隔离体上外力作用情况相同,只需取一个截面来计算。因此FQ3=FQ4=4.5kN。

在4—5区段内,有均布荷载作用,剪力图是一条斜直线,且出现FQ=0的位置,此处弯矩将有极大值。设此处离4点距离为x,则有FQ(x)=4.5-2·x=0,计算出x=2.25m。

在5—8区段内,无横向力作用,剪力图是水平线,取右段隔离体,其中外力偶作用不影响剪力的大小,因而可以认为5—8截面隔离体上的外力相同,因此FQ5=FQ6=FQ7=FQ8=-3.5kN。

将以上计算的数值按1—8的顺序依次连接成剪力图,如图8.24(b)所示。注意,2—3截面和6—7截面在同一点上,其值上下浮动。

③绘制弯矩图:(www.xing528.com)

在1—2区段内,无荷载作用,弯矩图是斜直线。取左段隔离体,得M1=FAy×0=0。

在2—3截面处作用的集中力不影响弯矩的大小,取左段隔离体,M2=M3=8.5kN·m。

在3—4区段内,无荷载作用,弯矩图是斜直线。取左段隔离体,得M4=13kN·m。

在4—5区段内,有均布荷载作用,弯矩图是一条抛物线,且在FQ=0的对应位置处,弯矩将有极大值,按照x=2.25m,计算出Mmax=18.06kN·m。

在5—6区段内,无荷载作用,弯矩图是斜直线,取右段隔离体,得M5=15kN·m,M6=11.5kN·m。

在6—7截面处有集中力偶作用,弯矩图将发生突变,突变值等于集中力偶的大小,得M7=3.5kN·m。

在7—8区段内,无荷载作用,弯矩图是斜直线,取右段隔离体,得M8=0。

将以上计算的数值按1—8的顺序依次连接成弯矩图,如图8.24(c)所示。

【例8.12】　试作出图8.25(a)所示梁的剪力图与弯矩图。

图8.25

【解】　①计算梁的支座反力。

校核:

说明反力计算正确。

②用简易法计算梁上各控制点截面上的剪力值和弯矩值。在本题中,把梁分成4段,依次计算各控制点截面的剪力值和弯矩值。

a.各控制截面剪力值的计算如下:

AC段:FQAC=常数=FAy=75kN

CD段:FQCD=常数=FAy-F1=75-120=-45kN

DF段:FQD=FAy-F1=75-120=-45kN

=FAy-F1+4q1=75-120+4×30=75kN

FB段:=-FBy+2q2=-25+2×20=15kN

=-FBy=-25kN

b.各控制截面弯矩值的计算如下:

AC段:MA=0,MC=FAy×1=75kN·m

CD段:MC=FAy×1=75kN·m

=FAy×2-F1×1=75×2-120×1=30kN·m

DF段:=FAy×2-F1×1-m=75×2-120×1-80=-50kN·m

MF=FAy×6-F1×5-m+q1×4×2=75×6-120×5-80+30×4×2=10kN·m

FB段:MF=FBy×2-q2×2×1=25×2-20×2×1=10kN·m

MB=0

③根据以上计算作出梁的剪力图和弯矩图。

a.绘制梁的剪力图,如图8.25(b)所示。由剪力图可以看出,在均布荷载q1和q2作用的梁段,有剪力等于0的E点和G点,此两点的弯矩有极值,必须找出这两点的位置。设E点距A支座的距离为xE,设G点距B支座的距离为xG,依次列出DF段和FB段的剪力方程并分别令其等于0,即可求得xE和xG。

由　FQDE=FAy-F1+q1(xE-2)=75-120+30×(xE-2)=0,求得xE=3.5m。

由　FQBG=-FBy+q2xG=-25+20xG=0,求得xG=1.25m。

b.绘制梁的弯矩图,如图8.25(c)所示。必须计算DF段和FB段梁弯矩的极值,计算结果如下:

把MEmax和MGmin在弯矩图中注明,如图8.25(c)所示。