建筑力学（第2版）中绘制梁内力图的意义及其确定梁的最大内力

剪力方程和弯矩方程就是将梁各横截面剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用函数表达出来,但是这种表达方式还不够直观。我们可以画出上述方程的图像,用图形来表示梁内力沿轴线变化的情况。这样可以清晰地看出梁内力沿梁轴线的分布情况,也便于找到极值及其所处的位置。

取平行于梁轴线的坐标x,用以表示梁横截面的位置,以垂直于梁轴线的坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩,按剪力方程和弯矩方程绘出图形,这样的图形分别称为剪力图和弯矩图。

为了便于建筑工程上沟通和互流,对内力图的绘制一般遵从如下规定:表示剪力的纵坐标以向上为正,表示弯矩的纵坐标以向下为正;可不标出表示FQ和M值大小的坐标轴;绘剪力图时将正的剪力绘在x轴的上方,负的剪力绘在x轴下方,并标明正负号;绘弯矩图时将弯矩绘在梁的受拉侧,不标正负号;内力图下方须标明图名(FQ图或M图)和单位。这种依据内力方程绘制剪力图和弯矩图的方法称为内力方程法。

绘制梁内力图的意义在于可以由剪力图和弯矩图确定梁的最大内力的数值及其所在的横截面位置,这种内力极值所在的截面通常称为梁的危险截面。梁危险截面上的内力值是等截面梁设计的重要依据。

(1)梁上只有集中力作用时的剪力图和弯矩图

【例8.3】　如图8.12(a)所示一悬臂梁,在自由端B处受集中力P作用。试绘制梁的剪力图和弯矩图。

【解】　①建立剪力方程和弯矩方程。以梁右端点B为坐标原点,并在x截面处截取右段梁为研究对象,这样可以省略A端点处的支座反力的计算。右段梁的受力如图8.12(b)所示。由简易法可得到剪力方程和弯矩方程分别为

FQ(x)=P　　(0<x<l)

M(x)=-Px　　(0≤x<l)

图8.12

②画剪力图——FQ图。前述剪力方程表明,梁AB各个截面上的剪力均等于P。所以,剪力图是一条平行于x轴的水平线,因为是正剪力,剪力图画在x轴的上方,如图8.12(c)所示。

③画弯矩图——M图。前述弯矩方程表明,梁AB的弯矩方程是x的一次函数,即梁AB的弯矩图是一条斜直线。因此,只要算出两个截面的弯矩值确定图像上的两个点就可以画出弯矩图:

当x1=0时,M=0

当x1=l时,M=-Pl

在坐标系中标出(0,0)和(l,-Pl)的位置,连接两点就得到AB梁的弯矩图,如图8.12(d)所示。

注意,在水工、土建工程中,规定弯矩图一定要画在梁受拉侧。

【例8.4】　简支梁AB在C截面处受集中力P作用,如图8.13(a)所示。试绘制该梁的剪力图和弯矩图。

【解】　①计算支座反力。

②建立剪力方程和弯矩方程。外力P的作用点C将梁分成AC和CB两段,梁在该两段内的外力不同,与外力平衡的内力在其方程中所含有的外力也将不同,因此梁的剪力或弯矩方程是分段函数,不能用同一方程式来表示,应分段列出。

图8.13

AC段:在AC段内,距A端x1处截取左段梁为研究对象,绘出左段梁的受力图,如图8.13(b)所示。选取坐标原点为A,AC段的剪力方程和弯矩方程如下:

CB段:在CB段内,距A端x2处截取左段梁为研究对象,绘出左段梁的受力图,如图8.13(c)所示。坐标原点为A,CB段的剪力方程和弯矩方程如下:

③分段绘制剪力图和弯矩图。由剪力方程(a)、(c)可知,两段梁的剪力图均为水平线。在向下的集中力P作用的C处,剪力图的数值由突变为,突变值等于集中力P的数值〔图8.13(d)〕。由弯矩方程(b)、(d)知,两段梁的弯矩图均为斜直线,但两直线的斜率不同〔图8.12(e)〕。各主要控制点的剪力、弯矩值为:

当x1→0时,;当x1=0时,MA=0

当x1→a时,;当x1=a时,

当x2→a时,;当x2=a时,

当x1→l时,;当x2=l时,MB=0

根据以上计算,可以画出梁的剪力图和弯矩图,如图8.13(d)和图8.13(e)所示。

简支梁上作用有集中力的一种特殊情况是集中力位于梁的中点,如图8.14(a)所示,即时的剪力图、弯矩图如图8.14(b),(c)所示。

图8.14

为了简便,在剪力图和弯矩图中可不必画出坐标系,而在剪力图旁注明FQ图,在弯矩图旁注明M图即可。有时剪力图、弯矩图中的填充线也可省略。

(2)梁上只有集中力偶作用时的剪力图和弯矩图

【例8.5】　如图8.15(a)所示的悬臂梁,在自由端B处受集中力偶m作用。试绘制梁的剪力图和弯矩图。

图8.15

【解】　选取x截面右侧段梁作为隔离体,受力图如图8.15(a)、(b)所示。这样可不必求出A端的支座反力,而直接算出FQ和M为:

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上式(a)中,剪力值为零,其图形为与x轴重合的一条直线段〔图8.15(c)〕。式(b)表明,梁AB各个截面上的弯矩恒等于m,因此弯矩图是一条平行于x轴的水平线,如图8.15(d)所示。

【例8.6】　简支梁AB在C截面处受集中力偶m作用,如图8.16(a)所示。试绘制该梁的剪力图和弯矩图。

【解】　①计算支座反力。支座A,B处的反力FAy与FBy组成一对力偶,与外力偶m相平衡,故

图8.16

②列剪力方程和弯矩方程。AC和CB两段梁在C截面处分别取左段隔离体,受力如图8.16(b)、(c)所示。两段梁的剪力方程和弯力方程分别为:

AC段:

CB段:

③绘制剪力图和弯矩图。由剪力方程可知,剪力图是一条与x轴平行的直线〔图8.16(d)〕。由弯矩方程可知,弯矩图是两条互相平行的斜直线〔图8.16(e)〕,C处截面上的弯矩发生突变,突变值等于集中力偶矩的大小。其中,不管集中力偶作用在梁的任何位置处,梁的剪力图都与图8.16(d)一样。

【例8.7】　简支梁AB在梁端B处受集中力偶m作用,如图8.17(a)所示。试绘制该梁的剪力图和弯矩图。

【解】　①计算支座反力。支座A,B处的反力FAy与FBy组成一对力偶,与外力偶m相平衡,故

②列剪力方程和弯矩方程。选取x截面左侧段梁作为隔离体,受力图如图8.17(b)所示。

图8.17

③绘制剪力图和弯矩图。由剪力方程可知,剪力图是一条与x轴平行的直线〔图8.17(c)〕。由弯矩方程可知,梁AB的弯矩图是一条斜直线。因此,只要算出两个点的弯矩值(当x=0时,M=0;x→l时,M=m),就可以画出弯矩图,如图8.17(d)所示。

(3)在均布荷载作用下梁的剪力图和弯矩图

【例8.8】　一悬臂梁AB受均布荷载作用如图8.18(a)所示,试绘制该梁的剪力图和弯矩图。

【解】　①建立剪力方程和弯矩方程。

②绘制剪力图和弯矩图。由剪力方程可知,剪力图是一条斜直线。当x=0时,FQB=0;当x→l时,FQA+=ql。连接两点就得到AB梁的剪力图,如图8.18(c)所示。

由弯矩方程可知,弯矩图是一条二次抛物线,至少要计算出三个点的弯矩值才能大致绘出:

当x=0时,MB=0;当x→l时,;当时,。由此可以画出梁的弯矩图,如图8.18(d)所示。

【例8.9】　如图8.19(a)所示简支梁AB受均布荷载作用,均布荷载竖直向下,其集度为q,试绘制该梁的剪力图和弯矩图。

【解】　①计算支座反力。根据结构及荷载的对称关系可得

图8.18

图8.19

②建立剪力方程和弯矩方程。在距A端为x的任意截面处断开梁,取左段为研究对象,其受力图如图8.19(b)所示。全段梁的剪力方程和弯矩方程分别为

③绘制剪力图和弯矩图。由剪力方程可以看出,该梁的剪力图是一条斜直线,只要算出两个点的剪力值就可以绘出:

当x→0时,;当x→l时,。

由弯矩方程可知,弯矩图是一条抛物线,至少要计算出三个点的弯矩值才能大致绘出:

当x=0时,MA=0;x=l时,MB=0;时,。

根据求出的各值,绘出梁的剪力图和弯矩图分别如图8.19(c)、(d)所示。