胡克定律：适用条件及含义

从生产及生活中我们知道,杆的变形量与所受外力、杆所选用材料等因素有关。大量的实验表明,当杆的变形为弹性变形时,杆的纵向变形Δl与外力F及杆的原长l成正比,而与杆的横截面面积A成反比,即

引进比例常数E,则有

由于横截面上的轴力FN=F,故上式可改写为

这个规律最早由英国人胡克(R.Hooke)发现,故称为胡克定律。式中的比例常数E称为弹性模量,它与材料的性质有关,是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标。E的数值可由实验测定。E的单位与应力的单位相同,常用兆帕(MPa)、吉帕(GPa)。一些常用材料的E的约值见表5.1,以供参考。

EA称为杆的拉压刚度。它是单位长度的杆产生单位长度的变形所需的力。对于长度相同,轴力相同的杆件,分母EA越大,杆的纵向变形Δl就越小。可见EA反映了杆件抵抗拉伸与压缩变形的能力,称为杆件的抗拉(压)刚度。

因,故式(5.14)变为

上式是胡克定律的另一表达式。它表明:正应力与线应变成正比(前提条件是当杆件应力不超过某一极限)。

保证胡克定律这种线性比例关系成立的应力上限是σp,通常称为材料的比例极限,位于弹性阶段,但不是材料弹性阶段应力的上限,其值主要由材料性质决定,可通过标准试验测定,是材料的一种力学性能。于是,胡克定律的适用条件可写为σ≤σp。

【例5.6】　一木方柱(图5.13)受轴向荷载作用,横截面边长a=200mm,材料的弹性模量E=10GPa,杆的自重不计。求各段柱的纵向线应变及柱的总变形。

图5.13

【解】　由于上下两段柱的轴力不等,故两段柱的变形要分别计算。各段柱的轴力为

FNBC=-100kN

FNAB=-260kN

各段柱的纵向变形为

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各段柱的纵向线应变为

全柱的总变形为两段柱的变形之和,即

Δl=ΔlBC+lAB=-0.5-0.975=-1.475(mm)

【例5.7】　一矩形截面钢杆如图5.14所示,其截面尺寸b×h=3mm×80 mm,材料的弹性模量E=200GPa。经拉伸试验测得:在纵向100mm的长度内,杆伸长了0.05mm,在横向60mm的高度内杆的尺寸缩小了0.0093mm。试求:①该钢材的泊松比;②杆件所受的轴向拉力F。

图5.14

【解】　①求泊松比μ。

求杆的纵向线应变ε

求杆的横向线应变ε′

求泊松比μ

②杆件所受的轴向拉力F。

由胡克定律σ=εE计算图示杆件在F作用下任一横截面上的正应力

σ=εE=5×10-4×200×103=100(MPa)

求杆件横截面上的轴力

FN=σA=100×3×80=24×103=24(kN)

F=FN=24kN