不难证明,轴向拉压杆横截面上内力是且只能是轴力。实际上,轴力是横截面上连续分布内力的合力。轴力背离所在截面时,使截面受拉,轴力为拉力。轴力指向所在截面时,使截面受压,轴力为压力。工程上规定:拉力为正,压力为负。轴力在工程上的常用单位:牛(N),千牛(kN)。
【例5.1】 一等截面直杆受力如图5.3所示,试求1—1,2—2截面上的内力。
图5.3
【解】 ①求横截面1—1上的轴力。
沿横截面1—1假想地将杆截开,取左段为研究对象,设截面上的轴力为FN1〔图5.3(b)〕,由平衡方程
得
FN1=7kN
算得的结果为正,表明FN1为拉力。当然也可以取右段为研究对象来求轴力FN1,但右段上包含的外力较多,不如取左段简便。因此计算时,应选取受力较简单的部分作为研究对象。
②求横截面2—2上的轴力。
沿横截面2—2假想地将杆截开,取右段为研究对象,设截面上的轴力为FN2〔图5.3(c)〕,由平衡方程
得
FN2为负,说明与假设方向相反,即FN2为压力。
注意:①求解时,未知内力通常假定为正值。因此用截面法计算轴力时通常先假设未知轴力为拉力。这样,如果计算结果为正,表示轴力的性质确实为拉力;如果计算结果为负,表示轴力的性质相反,即为压力,与轴力的正负规定相吻合。
②列平衡方程时,轴力及外力在方程中的正、负号由其投影的正、负决定,与轴力本身的正、负无关。通常取所求内力方向为投影正方向。
③计算轴力时可以取被截开处截面的任一侧研究,计算结果相同。但为了简化计算,通常取杆段上外力较少(简单)的一侧研究。
④在将杆截开之前,不能用合力来代替力系的作用,也不能使用力的可传性原理以及力偶的可移性原理。因为使用这些方法会改变杆件各部分的内力及变形。
【例5.2】 如图5.4(a)所示直杆受轴向外力作用,试求杆件各段横截面上的轴力。
图5.4
【解】 ①求1—1截面上的轴力。
从1—1截面处将杆断开,取右侧为研究对象,以FN1表示截面轴力,并假定为拉力,受力如图5.4(b)所示。
由平衡方程
得
②求2—2截面上的轴力。
从2—2截面处将杆断开,取右侧为研究对象以FN2表示截面轴力,并假定为拉力,受力如图5.4(c)所示。(www.xing528.com)
由平衡方程
得
思考:求解时可否取截面左侧为研究对象?
不难证明,杆件(或杆段)只在两端受沿杆轴的集中力作用时,杆件(或杆段)各横截面上的轴力相等。在工程实际中,有些杆件往往承受多个轴向外力作用。在这种情况下,杆件中的轴力在不同截面上就有可能不相同。为了形象地表明杆的轴力随横截面位置变化的规律,通常以平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置,即x坐标,以垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力大小及性质(即正负),即FN坐标,并按适当比例将轴力随横截面位置变化的情况画成图形。这种表示杆各横截面轴力沿杆轴变化规律的图形称为轴力图。
通常轴力最大处为危险截面。从轴力图上,可以很直观地看出最大轴力所在位置、性质及数值。习惯上将正轴力画在上侧并标明“+”号,负值画在下侧并标明“-”号。
【例5.3】 试画出如图5.5所示等截面直杆的轴力图。
图5.5
【解】 ①求各段的轴力。
AB段:在AB段内任选一截面将杆截断,此截面标记为1—1。取左段为研究对象,以FN1表示该截面轴力,并假定为拉力,受力如图5.5(b)所示。
由平衡方程
得
正号表示AB段内的轴力为拉力。
BC段:类似上述步骤,隔离体受力图如图5.5(c)所示。
由平衡方程
得
即BC段不受力。
CD段:在CD段内任选一截面将杆截断,此截面标记为3—3。取右段为研究对象,以FN3表示该截面轴力,并假定为拉力,隔离体受力图如图5.5(d)所示。由平衡方程
得
FN3=-9kN
负号表示CD段内的轴力为压力。
②作轴力图。以杆件轴线作为横坐标,其上各点表示杆件横截面位置;纵坐标按一定的比例值代表相应横截面上的轴力大小。需要注意的是:在实际画杆件轴力图时,由于不同截面的轴力相差可能很大,轴力值纵坐标可能无法准确地按比例绘制,可以画出示意性的高度,关键要在图形上表明其轴力值;正值画在横坐标上方,负值画在横坐标下方,并标明“+”“-”以表示其性质(拉、压)。轴力图如图5.5(e)所示。
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