模糊多属性决策方法及应用研究

设X={x1，x2，…，xm}为决策方案集，C={c1，c2，…，cn}为属性集，属性权重完全未知。决策者对方案xi(i=1，2，…，m)在属性cj(j=1，2，…，n)下的评价信息用对偶犹豫模糊数D={h(x)，g(x)}的形式给出。首先需要对对偶犹豫模糊值进行规范化处理，处理方法如下:

设D={h(x)，g(x)}为对偶犹豫模糊数，在集合h(x)和g(x)两个集合中，元素次序通常是紊乱的，需对两集合中的元素重新进行排序。令σ:(1，2，…，m)→(1，2，…，m)为一个排列，使得hσ(s)≥hσ(s+1)其中s=1，2，…，m-1，令δ:(1，2，…，n)→(1，2，…，n)为一个排列，使得gδ(t)≥gδ(t+1)其中t=1，2，…，n-1。

此外，在不同的对偶犹豫模糊数D=(hD(x)，gD(x))和F=(hF(x)，gF(x))中，集合hD(x)与hF(x)中及集合gD(x)与gF(x)中所包含元素个数可能会有所不同，令l=max{l(hD(x))，l(hF(x))}、k=max{k(gD(x))，k(gF(x))}。其中，l(hD(x))、l(hF(x))、k(gD(x))、k(gF(x))分别表示hD(x)、hF(x)、gD(x)、gF(x)中元素的个数[214]。在乐观准则下，向集合中添加最大的元素，在悲观准则下，向集合中添加最小的元素，使得l(hD(x))=l(hF(x))，k(gD(x))=k(gF(x))。

定义6.5 D=(h(x)，g(x)为对偶犹豫模糊数，其中h(x)={hσ(1)(x)，hσ(2)(x)，…，hσ(l)(x)}、g(x)={gδ(1)(x)，gδ(2)(x)，…，gδ(k)(x)}，则D的信息能量为:

则A的模可定义为

定义6.6 设D=(hD(x)，gD(x))和F=(hF(x)，gF(x))为两个对偶犹豫模糊数，其中hD(x)={hDσ(1)(x)，hDσ(2)(x)，…，hDσ(l)(x)}、gD(x)={gDδ(1)(x)，gDδ(2)(x)，…，gDδ(k)(x)}、hF(x)={hFσ(1)(x)，hFσ(2)(x)，…，hFσ(l)(x)}、gF(x)={gFδ(1)(x)，gFδ(2)(x)，…，gFδ(k)(x)}，则D与F的相关性指标定义如下:

定义6.7 设D和F为两个对偶犹豫模糊数，则有D与F的相关系数，即夹角余弦可定义为:(www.xing528.com)

结合定义6.6和定义6.7，给出对偶犹豫模糊数投影定义如下。

定义6.8 设D和F为两个对偶犹豫模糊数，则D在F上的投影定义为:

定义6.9 令D*(xi)=(h*(xi)，g*(xi))为理想对偶犹豫模糊数，其中:

则对偶犹豫模糊数D在理想对偶犹豫模糊数D*上的投影为

对各对偶犹豫模糊元投影的加权求和，得各方案的综合评价分值:

根据Zi值的大小，对各方案Xi进行排序择优。