模糊多属性决策方法及在大学评价中的应用研究结果：

一般情况下，犹豫模糊集中元素个数并不相同，允许存在不同个数的隶属度值。例如五位专家对方案A1在属性X1下的评价值为{0.2，0.3，0.6}，表明群决策过程中不同的专家给出了三种不同的结果。出现这种情况的原因，可能是有的专家弃权或者某些专家意见一致。这导致在应用中犹豫模糊元长度不一致。

为了解决上述问题，提出一种带有参数的扩展方法，该方法考虑了决策者的风险偏好、风险中性和风险厌恶三种不同情形。

定义5.4 对于犹豫模糊数h=H{γλ，λ=1，2，…，h}，设γ+和γ-分别为犹豫模糊数h中最大和最小的元素，称γ-=θγ+-(1-θ)γ-为一个带有参数的扩展值。其中，参数θ(0≤θ≤1)由决策者根据自身风险偏好事先给定。

(1)若参数θ=1，则扩展值为γ-=γ+，决策者是风险偏好型，添加犹豫模糊元内数值最大的元素;

(2)若参数θ=0，则扩展值为γ-=γ-，决策者是风险规避型，添加犹豫模糊元内数值最小的元素;

(3)若参数θ=0.5，则γ-=0.5(γ++γ-)，决策者是风险中性型，添加犹豫模糊元内所有元素的平均数。

定义5.5 将犹豫模糊集转化为规范化的矩阵R=(rij)m×n，若指标属性为效益型，rij=hij;若指标属性为成本型，则rij=1-hij。

根据灰色系统理论中核与灰度概念的内涵，本书将其定义扩展到犹豫模糊集:

(1)若⊗为连续灰数，则为灰数⊗的核;

(2)若⊗为离散灰数为灰数⊗的核;(www.xing528.com)

(3)若灰数为取值分布已知的随机灰数为灰数的核。

定义5.6[183] 设灰数⊗产生的背景或全部为Ω，μ(⊗)为区间灰数⊗取值数域的测度，称g0(⊗)=μ(⊗)/μ(Ω)为灰数⊗的灰度，灰度满足以下性质:

(1)灰度满足规范性，即0≤g0(⊗)≤1;

(2)灰度满足不确定性:

当g0(⊗)=0时，表示不确定性为0，为完全确定的白数;

当g0(⊗)=1时，表示不确定性为1，为完全不确定的黑数;

当0＜g0(⊗)＜1时，为不确定的灰数。

定义5.11 设⊗1∈[a，¯a]，⊗2∈[b，¯b]，根据参考文献[205]，可得: