双轴对称工字形简支梁纯弯曲下的临界弯矩

图5.9为双轴对称工字形截面简支梁在纯弯曲下处于中性平衡时的位移情况。以截面的形心为坐标原点，固定的坐标系为O－x－y－z，随截面位移而移动的坐标系为O－ξ－η－ζ。在分析中假定截面为刚周边，截面形状保持不变，因而截面特性Ix＝Iξ和Iy＝Iη。

在离梁左支座为z的截面上作用有弯矩Mx，用带双箭头的矢量示于图5.9（b）中。梁发生侧扭变形后，在图5.9（b）上把Mx分解成Mxcosθ和Mxsinθ，在图5.9（c）又把Mxcosθ分解成Mξ和Mη。因和截面转角φ都属微小量，可取

sinθ≈θ，cosθ≈1，sinφ≈φ，cosθ≈1

又由于梁承受纯弯曲，故Mx＝M0＝常量，于是得

式（5.20）中前两式分别为截面发生位移后绕强轴和弱轴的弯矩，后者Mζ为扭矩。这说明当梁发生弯扭变形后，截面上除原先在最大刚度平面内已有的弯矩作用下，又产生了侧向弯矩Mη和扭矩Mζ。

图5.9　双轴对称工字形简支梁在纯弯曲下的弹性稳定

对内、外矩建立三个平衡微分方程式

式（5.21）是对ξ轴的弯矩平衡方程式，因只包含一个未知量v的二阶导数，可单独求解，对z积分两次后可得梁在yOz平面内的挠曲线方程，见材料力学，这里不再提它。式（5.22）是侧向弯矩的平衡方程式，式（5.23）是扭矩的平衡方程式，两式中各包含两个位移分量——φ和u的导数，因此必须联立求解。

由式（5.22），得　

由式（5.23）各项对z取一阶导数，然后把u″代入，化简后可得

设

代入上述微分方程，得

这是一个常系数的四阶齐次常微分方程，其通解为(www.xing528.com)

其中　

通解式（5.23d）中包含4个积分常数，需用梁的4个边界条件求解这些常数。

两端简支梁的边界条件是:当z＝0或z＝l时，则

和

式（5.23f）的几何意义很易理解，即支座处截面无竖向位移和侧向位移，也无对z轴的转动。式（5.23g）则表示端部截面翘曲不受约束，绕x轴和y轴截面能自由转动。由此应是，于是得φ″＝0。

在讨论梁的整体稳定时，凡说梁是简支，都应满足上述条件，因此有人就较严格地把简支称为夹支，认为更易体现这种支座截面不能绕z轴转动但可以绕x轴和y轴自由转动。在图5.9（b）中，支座处画了两个小圆圈就是表示夹支这个意思。利用简支梁的下列4个边界条件

z＝0和z＝l时，φ＝0和φ″＝0

解得　B＝C＝D＝0和A sin n1l＝0

为满足A sin n1l＝0，如取A＝0，由式（5.23d）则得φ＝0，这不合题意，因此只能是

由此n1的最小解为。

把表示k1和k2的式（5.23b）代入整理后得

此即所求纯弯曲时双轴对称工字形截面简支梁的临界弯矩。式中根号前的π2EIy/l2即绕y轴屈曲的轴心受压构件欧拉公式。由式（5.24）可见影响纯弯曲下双轴对称工字形简支梁临界弯矩大小的因素包含了EIy、GIt和EIw三种刚度以及梁的侧向无支跨度l。