多尺度分析揭示混凝土结构网格敏感性

由细观分析结果得到了损伤演化曲线之后，就可以代入连续损伤理论，进行结构层面的非线性分析。但是由于尺寸效应的影响，我们得到了一簇与单元体尺寸相关的损伤演化曲线，如图（4-10b）。在进行结构模拟之前，我们需要先寻求尺度相关的损伤演化与结构非线性数值模拟的对应关系。另一方面，对于某些材料组成的结构，其数值分析带有明显的网格依赖性，即不同的有限元网格得到的数值模拟结果有着很大的区别，同时随着结构有限元网格的细化，结构分析的结果并不会趋于收敛。传统观点认为，造成这种网格敏感性的原因是宏观数值模拟的过程中忽略了材料特征尺度的影响。为了考虑特征尺度的影响，研究者提出了梯度相关理论与非局部化理论。这部分内容在第1章中我们已经做了简要的回顾。本章提出的多尺度损伤理论为网格敏感性问题的解决提供了另外的思路。前面的讨论中已经指出，均匀化状态量的行为依赖于单元体的几何尺度，而结构分析的结果依赖于有限元网格的尺度。此时如果在细观单元体的尺度与结构分析网格的尺度之间建立对应关系，那么就可以将细观分析中考虑的裂缝扩展的尺度不变性直接传递到宏观结构分析中，从而消除宏观结构分析的网格敏感性。

考虑图4-12中的结构分析网格与单元体。结构分析中，我们在积分点处考虑材料的本构关系，那么积分点实际上代表了积分点周围的一个代表性体积ΩI内材料的整体行为。根据本书建立的多尺度损伤模型，结构分析中要在积分点处代入由细观分析得到的宏观损伤演化，那么这里的损伤演化所代表的并不是积分点处一点的材料行为，而是积分点所对应的材料单元体的整体行为。此时由于材料的均匀化行为是具有尺度依赖性的，即不同的体积的材料的整体行为是不一样的。为了保持细观分析与宏观分析结果的一致性，需规定积分点所对应的宏观材料体积与细观单元体在几何尺度上具有对应关系，即，此时就能够避免宏观结构分析的网格依赖性。

图4-12　结构分析网格与单元体

上述宏观网格与细观单元体的对应关系也会带来一些应用层面上的问题。在结构分析中，我们通常对结构划分非均匀网格，特别是几何形态比较复杂的结构，其网格的密度可能差别很大，如果直接引入宏观网格与细观单元体的一致性，那么就需要针对不同几何尺寸的单元体做大量的细观数值模拟，这无疑增加了分析的计算量。另一方面，前面的讨论中已经述及，单元体虽然具有网格依赖性，但是这种依赖性具有极强的规律性。因此，可以通过数值试验拟合出表征损伤演化的尺度依赖性的尺度变换关系，然后用拟合得到的解析公式换算不同尺度的网格所对应的损伤演化。对于这里的数值分析问题，可以看出，在大部分尺度范围内，损伤演化可以由三段式函数表示，有

其中名义强度σN的尺度相关性可由式（4-127）得出，而应变参数εu-εt尺度相关性可以采用图4-11b中结果在对数坐标下的线性拟合表示。式（4-128）给出了尺度相关的多尺度损伤演化表达式。

根据上面思路，采用尺度相关损伤演化进行结构模拟。有限元网格如图4-13，采用稀疏、中等和细密三组网格进行结构模拟。采用前述双标量损伤本构关系模型，由于本例子中结构并没有发生受压破坏，所以计算中冻结受压损伤演化。由于整体结构的行为存在明显的软化，所以结构层面采用弧长（arch-length）法进行求解。如果未考虑尺度相关损伤演化，即对于不同的有限元网格采用相同的损伤演化曲线，得到的结构模拟结果如图4-14a所示，随着有限元网格的细分，模拟结果呈现出很大的变化，并且不会趋于收敛，这是典型的网格不稳定相关结果。如果考虑尺度相关损伤演化，对于不同的网格细分，取与网格尺度相搭配的损伤演化结果，所得结果如图4-14b，网格相关性基本去除，同时趋于渐近收敛。结构的轴向应力与轴向应变云图如图4-15所示，从云图中可以看出，虽然我们在宏观结构分析中并没有直接考虑裂缝的产生和发展，但是由于我们采用了基于细观微裂缝扩展得到的宏观损伤演化，所以宏观结构的结果还是能明显地看到裂缝端部应力集中和裂缝扩展所引起的变形集中。(www.xing528.com)

图4-13　半结构有限元网格：稀疏、中等与细密网格

图4-14　荷载位移曲线

图4-15　应力-应变云图