基于多尺度分析的混凝土损伤模型

完全张量形式的损伤模型，由于其表达和计算方面的复杂性，目前还很少直接应用于实际结构。但是这类模型在理论上具有完整性，所以本小节从理论上探讨基于多尺度能量传递定理建立完全张量形式的损伤演化的过程，其目的首先是为实际应用提供一种可能的途径，更重要的是为了体现本书方法在理论上的完备性。

对于张量损伤的能量定义，一般表示为

上式对D求偏导数，同时定义损伤能释放率Y，有

通过观察式（4-88）可知，Helmholtz自由能势ψ是损伤张量D的线性函数，于是其偏导数存在对偶关系，有

再考虑有限差分近似，那么损伤演化的数值解为

根据第2章中的讨论，可以基于有效应力的系列分解，将张量损伤变量简化为一系列标量损伤变量。此时基于Helmholtz自由能势的损伤定义为(www.xing528.com)

其中初始Helmholtz自由能势

而有效应力的各个分量满足分解式

将宏观应变作用于初始未损伤单元体上，利用平均应力求得均匀化应力，可得到均匀化有效应力。有效应力的分解的形式和项数可根据不同的损伤模型以及结构的性质确定。利用偏导关系，可得各个损伤变量为

根据前一小节的讨论，也可以构造对应的损伤试验，一对一地求解损伤变量的演化，对于第I类损伤试验，有

至此我们从对细观单元体结构的分析出发，基于多尺度能量传递定理和基于能量的连续损伤理论体系，建立了从细观结构分析得到宏观损伤演化的能量方法。由此得到的损伤演化可以直接代入基于能量的连续损伤体系进行宏观结构的分析，并且从宏观响应和细观裂缝演化两个层面把握结构的性态，为结构的分析和设计提供了更加精细而实用的途径。