基于散度定理的推导-多尺度分析的混凝土随机损伤本构理论研究

在细观力学中，有两个重要的概念：其一是“平均化（averaging）”，其二是“均匀化（homogenization）”。前者是指细观状态量的直接平均，而后者则是指与宏观状态量“等效”的细观状态量的运算。可以看出，平均化状态量非常便于利用细观分析的结果计算得到，而均匀化状态量则适用于宏观结构的分析和计算。平均化状态量与均匀化状态量一般存在着一定的关系，对于某些状态量二者是相等的，而对于另外一些，还需要考虑某些附加因素引起的附加项的影响。实际上，多尺度能量传递公式试图表达的，即是平均化能量和均匀化能量之间的关系。

首先考虑应力、应变的平均化和均匀化。利用平均化算符，平均化应力和应变分别为

对于均匀化应力，一般指单元体边界上总的外力形成的张力，而均匀化应变是指单元体边界上的总位移在单元体内部的平均，二者均为细观单元体的外部表现，分别定义为

其中，t∈为细观单元体表面作用的面力，⊗为张量的并乘，∮为沿着曲线或者曲面的闭合积分。再引入等式

可以看出，上式是平衡条件（4-1）的直接结果。

对于平均化应力式（4-55）应用应力恒等式（4-59）并同时考虑均匀化应力的定义式（4-57），可得

考虑到内部微裂缝表面作用的应力，诸如内聚应力、静水压力等，均为自平衡力系，所以上式右端第二项的面积分可以不考虑，即有

上式说明，具有微裂缝的细观结构应力场的均匀化应力等于平均应力。

对于平均应变场式（4-56），考虑均匀化应变的定义式（4-58），有

整理，得(www.xing528.com)

上式右边第二项是裂纹两侧位移场不连续跳跃引入的附加应变。在裂缝发展初期，基体中应力-应变较大，因而基体中的平均应变对宏观均匀化应变的贡献较大；而在裂纹发展到比较充分，基体中应力、应变比较小的时候，附加应变可以成为均匀化应变的主要部分。

下面考虑平均自由能「ψ∈」与均匀化自由能ψ的关系。对于细观自由能式（4-39）的积分，有

应用散度定理，上式化为

在多尺度分析中，对于细观单元体，一般考虑应变控制加载，如果让一个单元体的均匀化应变为ε，常用的方法是在单元体的外边界上施加如下所示的线性分布位移［152］，即

线性位移边界条件代入式（4-65）右端第一项，并结合均匀化应力的定义式（4-57）有

将上式代入（4-65）并整理，可得

至此，我们推导得到了平均自由能「ψ∈」与均匀化自由能ψ的关系。显然这一关系给出了细观能量与宏观能量的联系，同时也是多尺度能量传递定理的数学表达。

上述推导中只引入了平衡条件和散度定理，并没有引入周期性条件，也没有引入任何形式的应力-应变关系，所以其结论虽然与基于摄动均匀化理论得到的表达式一致，但是适用范围却更加广泛。