基于摄动均匀化理论的混凝土损伤本构研究

首先基于上一节建立的多尺度摄动均匀化理论推导多尺度能量传递定理。细观尺度上，先只考虑弹性固体中包含若干裂缝的情形。此时细观尺度的Helmholtz自由能势就是材料的弹性能密度，有

将细观应变场式（4-32）与应力场式（4-33）代入细观HFE表达式（4-39），可得

考虑上式在单元体内的积分，可得

下面分别求解式（4-41）右面的三个能量积分项。

（1）第一项能量积分

第一项能量积分只与宏观应变有关，可以直接积分得到，有

（2）第二项能量积分

考虑平衡方程式（4-19）中的第二式，并取k=-1，有

将-1阶应力摄动项式（4-29）代入上式，得

等式两边同乘以u［1］并在细观单元体内积分，得

对上式进行分部积分，可得

考虑内边界条件式（4-4）以及σ［0］的对称性，上式化为(www.xing528.com)

将σ［0］表达式（4-31）代入上式，整理后可得

上式实际上给出了第二项与第三项能量积分项的组合。

（3）第三项能量积分

考虑位移场的一阶摄动解式（4-23），第三项能量积分可以化为

另外，考虑均匀化应力表达式（4-57），有

综合上面两式，可得

将式（4-42）、式（4-48）和式（4-51）代入能量积分式（4-41），整理之后得

另一方面，宏观Helmholtz自由能势就是宏观应力与应变的乘积，即

综合上面式（4-52）与式（4-53），我们得到考虑微裂缝之后多尺度能量传递的最终表达式

上式右边第一项表示细观应变能的平均，是经典Hill定理［151］中给出的部分，第二项是沿着裂缝表面积分，是考虑了细观裂缝之后产生的附加项。利用上式，就可以由包含细观裂纹的细观分析结果得到宏观材料的Helmholtz自由能势。

基于摄动均匀化方法的推导过程具有严格的数学基础，但是摄动均匀化方法需要周期性条件作为基本假定，而实际的工程材料，特别是混凝土材料，往往不具有严格的周期性，这就约束了上述结论的应用范围。而事实上，在实际应用中我们发现，周期性条件并不对上述结论产生本质性的影响。所以在下面的讨论中，本书试图直接基于积分转换得到考虑微裂缝的多尺度能量传递公式。