基于摄动方法的混凝土均匀化理论

基于摄动方法，可以建立起均匀化理论的具有严格数学基础的理论体系，并推导得到各类状态量和特征量的均匀化公式［58］。本节拟简要介绍基于摄动方法的均匀化理论体系，基于严格的数学基础，推导出均匀化应力、均匀化应变以及均匀化刚度张量等表达式，为后续多尺度能量表达式以及损伤演化的建立提供理论支持。

首先考虑两尺度力学模型，如图4-1所示：非均匀固体组成的结构，所占据空间定义为Ω，边界定义为Γ，在细观尺度上，结构包含微裂缝。面力t作用于边界Γt上，预定位移作用于边界Γu上，并且有Γ=Γt∪Γu。为了推导的方便，暂不考虑体力的影响。对于宏观结构的材料点，有细观单元体（unit cell）与之相对应，单元体所在空间定义为Ωy，内部微裂缝形成的表面定义为Γc，其上也作用面力p。

上述结构的静力平衡可定义如下微分方程边值问题

图4-1　固体两尺度结构

对应边界条件

其中，σ为应力，u为位移，n表示边界的外法向量，t表示面力为拉普拉斯算符，上标∈表示定义在宏观坐标系的函数包含细观结构。

对于内部微裂缝构成的内边界，需要进一步考虑外力边界条件

应力-应变关系为

上述方程中的场函数u∈、ε∈与σ∈完整地考虑了细观结构的信息。针对上述方程的数值求解必须对细观结构进行精细的建模，如此巨大的计算量是一般数值模拟不能够承受的。同时空间尺度的差异也极容易导致微分方程数值求解的奇异和发散。为了减小数值模拟的计算量，同时为了避免数值奇异，需要从细观、宏观两个尺度上分别求解方程。

将整体结构所在坐标系定义为宏观坐标系，用x表示，而单元体所在坐标系定义为细观坐标系，用y表示。宏观坐标系与细观坐标系的换算可借助尺度参数∈表示如下

一般而言，尺度参数∈为一个小参数，定义了细观单元体尺度与宏观结构尺度的比值。

不失一般性，对于一个定义在宏观尺度但同时具有细观结构的函数，通常用Φ∈（x）表示。如果只采用一个坐标x同时表示其宏观结构和细观结构，那么其坐标的精度将由细观结构的尺度控制，这对于宏观响应的求解是不利的。此时若函数具有某些特性，譬如细观周期性，就可以采用宏观和细观两个坐标分别表示函数的宏观结构和细观结构，这就是两尺度函数的扩阶表示方法，有

当然，由于宏观坐标与微观坐标之间具有式（4-6）定义的关系，欲求其空间导数则需利用链式求导规则，有

考虑图4-1所示的两尺度结构，其位移场u∈（x）也相应地具有两个尺度，可以用上述扩阶方法表示为

为了求解微分方程（4-1），可进一步对位移场做如下摄动展开，并考虑尺度参数∈为一个小参数，有

其中，u［k］（x，y）为位移场的第k阶摄动项。

考虑小变形条件下的应变定义，有

其中对称梯度算符

将位移场展开式（4-10）代入应变的定义式（4-11）并整理，可得应变展开式

其中应变各阶摄动项

将应变摄动展开式（4-13）代入应力-应变关系式（4-5），可得应力摄动展开

其中应力各阶摄动项

将应力摄动展开式（4-16）代入平衡方程式（4-1），可得

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由于参数∈的任意性，上式成立的充要条件是∈的各阶系数均为0，于是有下述各阶平衡方程

其中第一个方程表示均匀化结构的平衡，而后面各阶方程表示由非均匀微结构引起的各阶应力项的自平衡。下文中将讨论各阶平衡方程的求解。

先考虑式（4-19）中的第一个方程，并结合应力-应变关系式（4-17）与应变-位移关系式（4-14），有

根据微分方程定解理论以及Bakhvalov and Panasenko［58］的讨论，上述方程的解与细观坐标y无关，只与宏观坐标x有关，表示为

可知位移场u∈的零阶摄动解u［0］为结构的宏观位移场。

再考虑式（4-19）第二个方程中k=-1的情况，同时结合应力-应变关系式（4-17），应变-位移关系（4-14）以及零阶摄动解式（4-21），有

上式为u［1］的线性方程，其解可以表示成分离变量形式［58，78］，有

其中，χ为3阶特征张量。

由上式可以看出：它定义了宏观应变与细观位移场之间的换算关系；而一阶位移项ν［1］（x）则表征了细观位移场解的平移对称性。将位移场的一阶形式解式（4-23）代入方程式（4-22），整理可得关于特征张量χ（y）的微分方程

再考虑作用在细观裂缝表面的内边界条件式（4-4），可得边界条件

综合式（4-24）与式（4-25）可以采用数值或解析方法解得特征张量χ（y），进而得到位移场的一阶摄动解u［1］。

考虑应力、应变摄动展开的高阶截断，有

考虑应力-应变关系式（4-17），应变-位移关系式（4-14）以及零阶形式解式（4-21）和一阶形式解式（4-23），可解得上式中的各阶应变与应力

将上述式子回代至应变展开截断式（4-26）和应力展开截断式（4-27），可得应变场与应力场的近似摄动解

根据细观力学的结论，宏观均匀化应力等于细观应力的平均，因此，有

上式中「·」为体积平均算符，定义为

其中，Vy为细观单元体的体积。

由上式（4-34）可以看出，右边大括号内的部分定义了宏观均匀化应变与均匀化应力的关系，由此可定义为均匀化弹性刚度张量，即

式（4-36）右边第一项为细观弹性刚度的直接平均，第二项为微结构特征张量对宏观刚度张量的影响。可知宏观均匀化刚度并不等于细观刚度的直接平均，还需考虑微结构特别是微缺陷引起的内力重分布的影响。

在连续介质损伤力学中，一般将损伤变量定义为由内部微裂缝和微缺陷引起的刚度的折减，即

那么综合式（4-37）与式（4-36），可解得损伤张量的表达式

至此我们得到了微缺陷作用下材料的宏观均匀化损伤张量，并从理论上建立了材料多尺度分析的基本框架。但是，三阶张量χ（y）的求解和积分都非常复杂，需要耗费大量的计算量。为了建立更为实用的多尺度本构关系模型，下一节试图以连续损伤理论作为支撑，建立多尺度损伤表示理论。

还应该指出的是，上文中在推导基本解的过程中，需用到周期性条件，即要求单胞在宏观上具有周期对称性。第1章已经述及，后来的研究中将这种周期对称性做了相当程度的弱化。在实际应用过程中，上述周期性条件要求单胞单元要足够大，包含足够的细观结构信息，能够代表细观结构的行为，即所谓“细观足够大”。而后文中也尝试利用散度定理和直接积分转换的形式避免周期性条件的引入。