混凝土弹塑性理论研究

类比经典塑性理论，可建立塑性演化方程如下：

其中，λp为塑性流动因子。

塑性演化函数

其中，为演化势函数，而塑性硬化函数

其中，Cp为塑性硬化刚度张量。至此得到有效应力空间的塑性演化方程①。

在有效应力空间中定义屈服势函数如下：

则控制塑性应变演化的Kuhn-Tucker条件可表示为

对式（2-66）求时间导数可得塑性一致性条件如下：

对有效应力式（2-2）求时间微分，有

将式（2-65）及式（2-69）代入塑性一致性条件式（2-68），可解得塑性流动因子

如果考虑相关流动法则，取Gp=Fp，那么塑性流动因子为

将塑性流动因子表达式（2-70）代入有效应力率表达式（2-69），可得

可定义

为弹塑性切线刚度张量。对于相关塑性流动，弹塑性切线刚度张量

为对称张量。(www.xing528.com)

一般而言，屈服函数可做如下分解：

（·）为材料的等效单轴屈服应力函数；R（·）为屈服面半径；应力空间塑性变量q=｛q1，q2｝T为二维向量，q1为等向硬化的量度，q2为运动硬化的量度；fy0为材料的初始屈服应力。同时，可定义材料的后继屈服应力为fy=fy0-q1。

在土工材料的塑性模型中，常将屈服函数进一步简化为如下形式：

其中，c为内聚力函数。

上式忽略了运动强化，而只考虑各向同性强化。土工材料中常用的屈服函数，如Mohr-Coulomb屈服函数或者Drucker-Prager屈服函数［125］，并不完全适用于混凝土材料。原因是混凝土的塑性除了存在与土工材料一致的内摩擦机制以外，还具有对主拉应力的敏感性。

Lee and Fenves［29］在Lubliner et al［24］研究的基础上，考虑了最大主拉应力对Drucker-Prager模型的修正，建议了屈服函数的表达式，Wu et al［39］又将其引入有效应力空间，得到如下屈服函数表达式：

式中，α为材料参数，表示为

其中，分别为混凝土的单轴受压与双轴受压初始屈服强度，二者之比是混凝土重要的力学参数，实验测定结果为1.15—1.25。而β和c则是后继屈服强度的函数，其表达式为

其中，分别为混凝土后继抗拉强度和后继抗压强度，二者均可定义为等效塑性应变向量κ的函数。

吴-李模型中［20］，取混凝土的演化势函数为修正的Drucker-Prager型函数，为

塑性应变演化函数

式中，二阶张量的范数定义为而1表示二阶单位张量。

将式（2-81）代入式（2-60），可得塑性应变的Drucker-Prager型演化方程为

上式表明的塑性应变演化包含体积分量。