Chebyshev映射：特性与仿真

1.Chebyshev 的初值敏感性

式（2-17）中的ω=6，初始值x（0）分别为0.289999，0.290000，迭代次数为100，就可以得到Chebyshev 映射的初始值敏感图，如图2-9 所示。横轴表示迭代次数n，纵轴表示序列的取值x（n）。从图2-9 可以看出，两者的初始值仅相差10-6，刚开始迭代的两条曲线基本重合，但是经过一段时间的迭代后，两个曲线有很大的差别，这说明混沌序列对初始值非常敏感。通过预置初始值，可以产生不同的混沌序列，产生的序列数量非常多。

图2-9　Chebyshev 的初始值敏感性

2.Chebyshev 的遍历性

理论上，当x（n）经过n 次迭代运算后（n 值足够大时），其迭代运算值x（n）等遍历[-1,1]上所有的值。取ω=6，初始值x（0）=0.289999，对式（2-17）进行1000 次迭代所产生的混沌轨迹如图2-10 所示。横轴表示迭代次数n，纵轴表示序列的取值x（n）。图中的“+”表示第n 次迭代运算值x（n）。从图2-10 中可以看出，当迭代次数足够大时，模拟混沌序列的取值x（n）几乎遍历了[-1,1]的区间。

图2-10　Chebyshev 的遍历性

3.Chebyshev 的相空间

初始值x（0）=0.289999，迭代次数为1024，当ω =6 时，可以得到Chebyshev 映射的二维相空间图（图2-11）和三维相空间图（图2-12）。

图2-11　Chebyshev 的二维相空间

图2-12　Chebyshev 的三维相空间

4. Chebyshev 的相关性

取序列长度N=1024，x（0）=0.289999，ω=6，相关间隔M=2048，自相关仿真结果如图2-13 所示。类似于δ 函数，接近白噪声的特性。

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图2-13　Chebyshev 的自相关

取序列长度N=1024，ω=6，x（0）=0.289999，y（0）=0.290000，最小初始值敏感度为10-6，相关间隔M=2048，互相关仿真结果如图2-14 所示。由图2-14 可以看出，互相关系数非常小，随着序列长度的增加混沌系列会逐渐趋近于白噪声。而且，对于初始值相差10-6的两个序列经过数次迭代后，互相关性变得非常小。

图2-14　Chebyshev 的互相关

5.Chebyshev 的倍周期分岔

ω 以0.001 的步长，在(0,10]区间逐步增加时，对每一个固定的ω 值，取一个初始值x（0）=0.289999，通过对式（2-17）进行500 次迭代运算，每当给定一个ω 值后，取其最后500 次的x（n）值进行绘图，其结果为倍周期分岔图，如图2-15 所示。图中横坐标表示ω 的取值范围，纵坐标表示x（n）的取值范围。

图2-15　Chebyshev 的倍周期分岔

从图2-15 可以看出，当ω 的取值范围是(0,2]时，chebyshev 映射取值逐渐增多。当ω 的取值范围是(2,10]时，chebyshev 映射是从区间[-1,1]到其本身的非线性映射。

6.Chebyshev 的Lyapunov 指数

式（2-17）Chebyshev 的Lyapunov 指数的表达式：

ω 以0.001 的步长，(0,10]在区间逐步增加时，对每一个固定的ω 值，取一个初始值x（0）=0.289999，n=200，得到李雅普诺夫指数图，如图2-16所示。图中横坐标表示ω 的取值范围，纵坐标表示Lyapunov 指数。

图2-16　Chebyshev 的Lyapunov 指数

从图2-16（a）可以看出，当ω ＞2 时具有正的Lyapunov 指数，该映射处于混沌状态。从图2-16（b）可以清楚地看出，ω在3 附近时Lyapunov 指数为负，出现波动。当ω =6，由式（2-17）迭代产生Chebyshev 混沌序列，见图2-10 所示，由该映射产生的混沌序列x（n）在区间[-1,1]上遍历，该映射为满秩映射。