李雅普诺夫特征指数的应用

李雅普诺夫特征指数称为Lyapunov 指数，是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标，它表征了系统在相空间相邻轨迹的平均指数发散率的数值特征。初始条件不同的两条相邻轨迹随时间按指数规律发散或收敛的比率就称为Lyapunov 指数[167]。

一维离散映射xn+1=f ( xn)的Lyapunov 指数λ：

一维映射对应一个Lyapnnov 指数，当Lyapnnov 指数小于零，表示相体积收缩，运动稳定，对初始值不敏感。当Lyapnnov 指数大于零，则表示相邻轨道分散，其长时间行为对初始值非常敏感，运动呈现混沌状态，Lyapnnov指数越大，说明混沌特性越明显，混沌程度越高。当Lyapnnov 指数等于零，则对应临界状态，即稳定的边界。

而多维系统则有多个Lyapnnov 指数，Lyapnnov 指数沿某一方向取值的正负和大小表示长时间系统在吸引子中相邻轨线沿该方向平均发散（ λi＞0 ）或收敛（ λi＜0 ）的快慢程度，仅从数学角度考虑，Lyapnnov 指数无量纲。n 维系统具有n 个Lyapnnov 指数，形成指数谱。其中数值最大的被称为最大Lyapnnov 指数。

最大Lyapnnov 指数定义为：

其中，tm表示m 时刻，t0表示0 时刻， L (tk)表示tk时刻最邻近零点间的距离，M 表示计算总步数。最大Lyapnnov 指数不仅是区别混沌吸引子的重要指标，也是混沌系统对于初始值敏感性的定量描述。在实际计算中，要计算所有的Lyapnnov 指数，计算量较大，尤其当系统维数L 较大时更为突出。所有注意力集中在计算系统的最大Lyapnnov 指数 λmax上。(www.xing528.com)

通常情况下将指数谱按大小排列为

若该系统具有混沌吸引子，则必须同时满足以下条件：

（1）至少存在一个正Lyapnnov 指数。

（2）至少存在某一指数为0。

（3）指数谱之和为负数。