如练习图13-1所示,当一个固定的型梁承受端面扭转力矩时,会在固定支座处产生翘曲阻力。这里要求出由纯扭转和翘曲力扭转产生的要传递的分量。
10.6节中已经证明了,在翘曲阻力作用下,外扭转力矩通过两个分量得以传递,对应于以下公式:
Mx=Mxt+MxT (1)
或者微分方程:
E·CW·ϕ‴-G·Jt·ϕ′=-Mx (2)
经过转换,可得出:
练习图13-1 承受翘曲阻力的扭转型梁
或者有标准形式:
ϕ‴-α2·ϕ′=-μ (4)
对于该不均匀微分方程,其均匀的和部分的解都是已知的,即:
ϕh=A+B·coshα·x+C·sinhα·x (5)
由边界条件可以得出:
1)x=0:ϕ(0)=A+B=0
2)
3)x=L:ϕ″(L)=α2·B·coshα·L+α2·C·sinhα·L=0
其中,
为常数,并得出:
则微分方程(4)的解为
根据方程式(1),现在可以确定力矩分量,即有:
●圣维南扭转力矩分量:(www.xing528.com)
代入α2和μ,可以得出:
Mxt=Mx(tanhα·L·sinhα·x-coshα·x+1) (15)
●翘曲力扭转分量:
MxT=-E·CW·ϕ‴=-E·CW·μ(tanhα·L·sinhα·x-coshα·x) (16)
代入μ,可以得出:
MxT=-Mx(tanhα·L·sinhα·x-coshα·x) (17)
为了能够讨论翘曲阻碍的影响,必须进一步求出:
其中,
代入方程式(18),则有:
与
α=1.6×10-3mm-1(22)
经过以上推理,现在可以对方程式(15)和(17)进行评估了。不过,如果将带有ξ=x/L的纵向坐标加以标准化,会更好一些。为此,可将上述方程表示为
Mxt=Mx(1-η) (23)
其中,η=coshαi·ξ-tanhαi·sinhαi·ξ;αi=1.6×10-3·Li。
MxT=Mx·η (24)
更重要的是比例关系:
在标准长度上对η的评估结果见练习图13-2。
练习图13-2 沿杆轴向上的力矩变化
可得出结论,在较短的长度上,翘曲的影响是主要的。
对于所有的杆来说,翘曲力矩主要出现在固定位置处,而在力作用位置处起主要作用的则是圣维南扭转。
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