轻量化设计：抗弯模量计算与应力变化分析

利用欧拉抗弯应力[KUN 08]：

其中，i²=j/A；λ=L/i；C=0.65；S_K≈3.0。 （18.28）

上式可描述一个抗弯杆的理想弹性行为。图18-8所示为与抗弯杆的细长度相关的抗弯应力变化过程趋势。在此之后，由于通过流动没有形成任何约束，方程式（18.28）只有在比例极限（对钢R_p≈0.8·R_eH）内是有效的。

对于比例关系：

其中，R_p≈0.8·R_eH。

在比例极限之上，要考虑到材料行为[CZE 69]。为此，通常提出恩格斯尔-卡曼模型。在这一模型下，取一根杆，其在压力下表现为正切模量E_T（见5.3节），在拉力下表现为线弹性模量E。在弯曲下则可得出图18-9中所示的应力应变变化过程。

图18-8 金属材料的欧拉双曲线变化过程，实际中在比例应力或者流动应力下曲线发生拐弯

图18-9 带有不稳定边缘纤维的弹塑性弯曲

基于固定的旋转中心O可有如下关系：

●按发散定律对纤维延长有：

对曲率有：

●对在位置zⅠ、zⅡ的两个横截面部分的应力有：

由内外力矩导致的平衡要求有：

如果将方程式（18.30）、式（18.31）代入式（18.32），则可得出：

现在求积分作为部分面积矩，则可得出：(www.xing528.com)

M_b=-（E·JⅠ+E_T·JⅡ）·w″≡-T·J·w″ （18.34）

该方程表示了弯曲微分方程。对于减小了的抗弯模量，可如下计算：

根据方程式（18.6），有：

M_b=F·w

M_b=-J·T·w″

对于弹塑性压弯微分方程，又有：

对于如下的抗弯模量，根据方程式（18.35），可得出：

●矩形横截面的抗弯模量：

●I形横截面的抗弯模量：

抗弯模量首先取决于所采用的材料，较少受型材横截面几何形状的影响。这一点可由表18-2中明显看出来，这两种几何尺寸的差异很小。

表18-2 压弯模量的材料与几何尺寸相关性

由于两者的差别很小，在钢构造准则（见DIN 18800）中，一般只考虑矩形截面（亦见DIN 4114）的抗弯模量。

对于压弯应力，可如下计算：

而对于临界载荷，可如下计算：

在很多应用中，采用恩格斯尔-卡曼理论得出的轻量化比例关系要比由欧拉理论的得出的比例关系更接近实际结果，这一点得到了Tetmayer和Shanley的实验证明。