测绘基础：测量误差传播

本节内容主要介绍误差传播定律的概念；倍数函数、和或差函数、线性函数和一般函数中误差的计算。要求学生通过误差传播定律的学习，掌握独立观测值的中误差与函数值中误差之间的关系定律，运用误差传播定律正确评定间接观测值的精度。

在测量工作中，某些未知量可由直接观测的读数得来，其结果称为直接观测值。例如，水准测量的标尺读数、用钢尺量得的距离等。而某些未知量不可能或不便于直接进行观测，需要利用另外一些量的直接观测值通过某种函数关系间接计算出来，这些量称为间接观测值。例如，水准测量中高差h＝a（后视读数）－b（前视读数），式中间接观测值h是直接观测值a、b的函数。由于各个独立的直接观测值不可避免地存在误差，导致通过函数式计算出的间接观测值也必然存在误差，阐明直接观测值和其函数间误差关系的定律叫做误差传播定律。

误差传播定律揭示了直接观测值中误差和其函数值中误差间内在的规律，是测量误差中最基本、并在测量实际中应用较广泛的定律。

1.倍数函数的中误差

设函数为：

z＝kx

式中：z为x的函数，未知量的间接观测值；

k为常数；

x为未知量的直接观测值。

当观测值x存在真误差Δx时，则函数z也将产生真误差Δz，即：

z＋Δz＝k（x＋Δx）

将以上两式相减，得函数z真误差Δz的表达式为：

Δz＝k·Δx

设对x观测了n次，x和z产生的相应真误差分别为Δxi和Δzi，其中i＝1，2，…， n。即：

Δz1＝k·Δx1

Δz2＝k·Δx2

……

Δzn＝k·Δxn

将上列等式两边平方求和，并除以n，得：

根据中误差的定义可知

m2z＝k2·m2x

即： mz＝±k·mx 　（6－7）

结论：倍数函数的中误差等于观测值中误差与倍数（常数）的乘积。

例6.2 设在比例尺为1∶1000的地形图上量得A、B两点间的距离d AB＝45.3mm，其中误差md＝±0.2mm，试计算A、B两点间的实地水平距离DAB和中误差m D。

解：水平距离DAB＝1000×d AB＝1000×45.3＝45300mm＝45.3m

由式（6－7）得：

中误差m D＝1000×md＝1000×（±0.2）＝±200mm＝±0.2m

DAB＝（45.3±0.2）m

2.和或差函数的中误差

设函数为

z＝x±y

式中：z为x、y的和或差的函数；

x、y为彼此独立的可直接观测的未知量。

当观测值x和y分别带有真误差Δx和Δy时，则z也将产生真误差Δz，即：

z＋Δz＝（x＋Δx）±（y＋Δy）

与上式相减得：

Δz＝Δx±Δy

如果对x、y分别观测了n次，则有：

将以上各式两端平方，得：

Δ2z1＝Δ2x1＋Δ2y1±2·Δx1·Δy1

Δ2z2＝Δ2x2＋Δ2y2±2·Δx2·Δy2……

Δ2zn＝Δ2xn＋Δ2yn±2·Δxn·Δyn

将以上等式两端相加，并同时除以n，得：

由于Δx、Δy均为偶然误差，且互相独立，各自的正、负号出现的机会均等，其乘积ΔxΔy的正、负号出现的机会亦相等，ΔxiΔyi也同样具有偶然误差的性质。根据偶然误差对称性和抵消性，则有：

根据中误差的定义

结论：两个独立观测值之和或差的函数的中误差等于两个观测值的中误差的平方和的平方根。

推广：当函数z为n个独立观测值x1，x2，…，xn的和或差时，即：z＝x1±x2±…±xn，同理可推导出函数z的中误差为：

若mx1＝mx2＝…＝mxn＝m时，则有：

即等精度观测时，n个独立观测值和或差的中误差等于观测值中误差的倍。

例6.3 用50m长的钢尺丈量200m的距离，当每尺段量距中误差为±5mm时，全长的中误差为多少？

解：因全长共需4个尺段丈量，且各尺段丈量为等精度观测，即：D＝l1＋l2＋l3＋l4

则：　m D＝± m ＝±5＝±10mm

3.线性函数的中误差(www.xing528.com)

设线性函数为

z＝k1x1±k2x2±…±knxn

式中：k1，k2，…，kn为常数，x1，x2，…，xn为独立观测值，各直接独立观测值的中误差分别为mx1，mx2，…，mxn。

设 z1＝k1x1，z2＝k2x2，…，zn＝knxn

则线性函数变形为：z＝z1±z2±…±zn

据和或差函数中误差公式得：

据倍数函数中误差公式得：mz1＝k1mx1，mz2＝k2mx2，…，mzn＝knmxn

线性函数的中误差为：

结论：线性函数的中误差等于常数与相应观测值中误差乘积的平方和的平方根。

4.一般函数的中误差

设一般函数为

z＝f（x1，x2，…，xn）

式中：x1，x2，…，xn为独立观测值；

mx1，mx2，…，mxn为相应各观测值的中误差。

为了找出函数与观测值二者中误差的关系式，首先须找出它们之间的真误差关系式，故对上式全微分，即：

一般来说，测量中的真误差是很小的，故可以用真误差代替公式中的微分，即：

式中：是函数z分别对x1，x2，…，xn的偏导数，对于一定的xi，其偏导数值是一常数，故上式相当于线性函数的真误差关系式。同理由式（6－11）可得：

结论：一般函数中误差等于按每个观测值所求的偏导数与相应观测值中误差乘积的平方和的平方根。

例6.4 已知矩形的宽x＝30m，其中误差mx＝0.009m，矩形的长y＝50m，其中误差my＝0.010m，计算矩形面积A及其中误差m A。

解：矩形面积计算公式为：A＝xy

对各观测值取偏导数

由式（6－12）得：

矩形面积：A＝xy＝30×50＝1500m2

通常写成：A＝1500m2±0.54m2。

例6.5 导线AB的边长D＝200.125m±0.002m，坐标方位角α＝52°45′30″±6″，求直线端点B的点位中误差（见图6.2）。

解：坐标增量的函数式为

Δx＝D·cosα

Δy＝D·sinα

设mΔx、mΔy、m D、mα分别为Δx、Δy、D及α的中误差。

将上两式对D及α求偏导数，得：

由式（6－12）得：

由图6.2可知，B点的点位中误差为：

故：m＝±

将m D＝±2mm、mα＝±6″、ρ″＝206265″、D＝200.125m代入上式得：

5.一些独立误差的共同影响

在测量中，经常会遇到一个观测结果同时受许多独立误差的共同影响，例如水准测量中有照准误差、水准管气泡居中误差、仪器误差、外界条件引起的读尺误差等；经纬仪测角时，有读数误差、照准误差、目标偏心差、度盘分划误差、照准部偏心差、对中误差等都将影响观测结果的精度。在这种情况下，观测结果的真误差是各个独立观测量真误差的代数和。

设各独立观测量的真误差分别为：Δ1，Δ2，…，Δn，观测结果的真误差为Δ总，即：

Δ总＝Δ1＋Δ2＋…＋Δn

因这些误差是互相独立的，它们的出现具有偶然性，据误差传播定律，观测值中误差为：

图6.2 点位中误差

结论：若干独立误差引起的观测结果的中误差m总等于各个独立观测量所产生的中误差的平方和的平方根。

6.应用误差传播定律求观测值函数中误差的计算步骤

①根据题意，列出具体的函数关系式z＝f（x1，x2，…，xn）；

②如果函数是非线性的，则对各观测值求偏导数，；

③找出真误差间的关系式，换成中误差的关系式：

④代入已知数据，计算相应函数值的中误差。

应用误差传播定律时，函数中各自变量必须是相互独立的观测值，而且仅含有偶然误差。

例如，设有函数z＝x＋y，而y＝3x，此时，m2z＝m2x＋m2y的式子不能成立，因为x与y不是相互独立的量，即

因此，遇到类似问题时，应当将函数z化成自变量x的函数，即z＝4x

则函数z的中误差为：mz＝4mx。

表6.1为应用误差传播定律计算各种类型函数中误差的公式汇总表。

表6.1 观测值函数中误差计算公式表