测绘基础：测量误差理论概述

本节主要介绍测量误差的概念；测量误差产生的原因；误差的分类、特性及衡量观测值精度的标准。要求学生了解误差的概念、误差产生的原因，掌握误差的分类、特性；能利用中误差、允许误差、相对误差等衡量测量精度的常用指标进行精度评定；能根据观测结果利用中误差、相对误差和极限误差评判测量成果的优劣。

6.1.1 测量误差

在测量工作中，当对某一未知量进行多次观测时，无论测量仪器多么精密，观测进行得多么仔细，其结果总是存在差异。例如，对某一角度、两点间的高差或距离等进行多次重复观测时，所测得的各次结果往往存在差异；又如，对三角形的三个内角进行观测，每次测得的三个内角观测值之和常常不等于180°；在水准测量中，对闭合水准路线每段高差进行测量，所测得闭合水准路线高差闭合差不等于0等，这些现象都说明了测量结果不可避免地存在误差。

在测量中采用一定的仪器、工具和方法，对各种地物、地貌的几何要素进行量测，通过量测获得的数据称为观测值；被量测几何要素的真实值称为真值；观测值与其真值或应有值之差，称为真误差。即：

真误差＝观测值－真值

设某量的真值为X，第i次观测值为li，则真误差Δi为：

Δi＝li－X （i＝1，2，…，n） 　（6－1）

6.1.2 测量误差产生的原因

大量的测量实践证明，任何测量工作都会受到各种不利因素的影响，致使观测值中含有各种误差。误差是客观存在、不可避免的，对测量误差进行分析是测量工作中的重要内容之一。误差产生的原因是多种多样的，概括起来分为以下三个方面：

1.仪器工具的影响

测量工作通常是利用测量仪器进行的，而仪器的制造和校正不可能十分完善，如仪器各轴线间的几何关系不能完全满足要求，尽管经过了检验校正，但仍有残余误差存在；另外，不同类型的仪器有着不同的精度，使用不同精度的仪器进行观测引起的误差大小也不相同，因而导致观测值的精度受到一定的影响，不可避免地存在误差。

2.人的因素

由于观测者感觉器官的鉴别能力有一定的局限性，所以，在仪器的安置、照准、读数等方面都会产生误差。同时，观测者的工作态度、技术水平和习惯，也会直接影响观测成果质量。

3.外界条件的影响

观测时所处的外界环境，如温度、湿度、气压、大气折光、风力等因素是随时变化的，这些因素都会对观测结果直接产生影响。例如温度的变化会影响钢尺的伸缩，因而在这种变化的外界条件中进行观测，其结果必然包含有误差。

综上所述，仪器工具、人为因素、外界条件这三方面的因素是引起测量误差的主要原因。通常将仪器误差、人为误差、外界条件这三方面因素综合起来称为观测条件。观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测；观测成果的精确程度称为精度。观测条件的好坏，与观测成果的精度有着密切的联系。一般观测条件好，观测精度高；反之则观测精度低。

6.1.3 测量误差分类

测量误差按其性质可分为系统误差和偶然误差两类。

1.系统误差。

（1）系统误差的概念。

在相同的观测条件下对某量进行一系列的观测，如果观测误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差就称为系统误差。

系统误差的产生，主要是由于测量仪器和工具制造不严密或校正不完善引起的。例如，在钢尺量距时，钢尺的名义长度为50m，经检定后，其实际长度为49.994m。用该尺丈量距离时，每量一整尺，就比实际长度量长了6mm，这6mm的误差，其数值的大小和符号是固定的，丈量的距离愈长，误差也就愈大；又如，用视准轴不平行于水准管轴的水准仪进行水准测量时，尺上读数总是偏大或偏小，这种误差的大小与水准尺至水准仪的距离成正比，该误差保持同一符号，数值按一定的规律变化，这些误差都属于系统误差。

（2）系统误差的特性。

①大小（绝对值）为一常数或按一定规律变化。

②符号保持不变。

③系统误差具有积累性，不能相互抵消，对测量成果影响较大。

（3）消除或减小系统误差的措施

①测定仪器误差，通过计算对观测值加以改正。如钢尺量距时，先对钢尺进行检定，求出尺长改正数，然后对所量得的距离进行尺长改正，来消除尺长误差的影响。

②采用合理的观测方法，消除或减弱系统误差对观测值的影响。如在水准测量中，采用中间水准测量的方法可消除视准轴不平行于水准管轴所引起的高差误差；在水平角测量中，用盘左、盘右观测取平均值的方法，可消除经纬仪视准轴不垂直于横轴、横轴不垂直于竖轴及照准部偏心差等误差对水平角的影响；在三角高程测量中，可采用正觇、反觇消除地球曲率和大气折光对高差的影响等。

③将系统误差限制在允许范围内。有的系统误差既不便于计算改正，又不能采用一定的观测方法加以消除，如经纬仪照准部水准管轴不垂直于仪器竖轴的误差对水平角的影响。对于这类系统误差，只能按规定对仪器进行精确地检校，并在观测中仔细整平，将其影响减小到允许范围内。

2.偶然误差

（1）偶然误差的概念。

在相同的观测条件下，对某未知量进行一系列观测，如果观测误差的数值大小和符号都不相同，从表面上看没有规律性，但就大量误差的总体而舀，具有一定的统计规律性，这种误差称为偶然误差。

偶然误差的产生，是由于仪器误差、人为因素和外界条件等多方面因素引起的。例如，在用经纬仪测角时，用望远镜的十字丝照准目标，由于望远镜的分辨率、放大倍率的限制以及空气的透明度、目标的折射率等因素的影响，照准目标可能偏左或偏右产生照准误差；安置经纬仪时，对中不可能绝对准确而产生的对中误差；在距离丈量和水准测量中，读数时，在尺上估读末尾数字总是忽大忽小，产生读数误差等，这些误差均属于偶然误差。

（2）偶然误差的特性。

偶然误差从表面上看其大小和符号没有规律性，但在相同的条件下对某量进行大量的重复观测，可看出大量偶然误差呈现一定的规律性，而且重复次数越多，其规律性也越明显。

通过对大量测量观测结果的研究、统计，归纳出偶然误差具有如下特性：

①有限性：在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。

②集中性：绝对值小的偶然误差，比绝对值大的偶然误差出现的机会多。

③对称性：绝对值相等的正、负偶然误差，出现的机会相等。

④抵消性：随着观测次数无限增加，偶然误差的算术平均值趋于零。即：

式中：n为观测次数；

［Δ］＝Δ1＋Δ2＋…＋Δn。

对于一系列的观测而舀，不论其观测条件好还是差，也不论是对同一个量还是对不同的量进行观测，只要这些观测是在相同的条件下独立进行的，则所产生的一组偶然误差必然都具有上述的四个特性。(www.xing528.com)

图6.1 偶然误差分布曲线

为简单而形象地表示偶然误差的上述特性，以偶然误差Δ的大小为横坐标，以其误差出现的个数为纵坐标，画出偶然误差大小与其出现个数的关系曲线，如图6.1所示，该曲线又称为误差分布曲线。

由图可明显地看出，曲线的峰愈高、愈陡峭，表示误差分布愈密集，观测成果质量越高；反之，曲线的峰愈低、愈平缓，表明误差分布越离散，观测成果质量越低。图6.1中，曲线a的观测成果质量比曲线b的观测成果质量高。

（3）消除或减小偶然误差的措施。

实践证明，偶然误差不能用计算改正数或采用一定的观测方法简单地加以消除，根据偶然误差的特性，采用增加观测次数，取其算术平均值，可大大减弱偶然误差对观测成果的影响。

3.粗差

在测量工作中，除了系统误差和偶然误差外，有时还会出现错误。例如：读错、测错或记错等，统称为粗差。

粗差的产生，主要是由于工作中的粗心大意造成的，也可能是仪器自身受外界干扰发生故障引起的等。粗差的存在不仅大大影响测量成果的可靠性，而且往往造成返工浪费，给工作带来难以估量的损失。因此，观测中必须严格按照测量规范进行作业，并进行必要的重复观测及相应的检核。如对高差、距离进行往返测量，尽量防止观测成果中存在粗差。一般粗差不算作观测误差。

在观测中，偶然误差和系统误差是同时产生的，由于系统误差可以采取适当的方法消除和减小，故偶然误差就成为决定观测精度的关键。所以在测量误差理论中主要讨论偶然误差的影响。

6.1.4 衡量观测值精度的标准

精度是观测成果的精确程度，亦指误差分布的密集或离散程度，反映一组观测成果质量的优劣。在实际测量工作中，由于观测结果中存在偶然误差，通常以中误差、相对误差和极限误差作为评定观测值精度的标准。

1.中误差

设在相同的观测条件下，对某一未知量进行n次观测，其观测值分别为l1，l2，…， ln，将相应各观测值真误差Δi平方和的平均值的平方根叫做中误差，用m表示。即：

式中：n为观测次数；

m为观测值中误差；

［ΔΔ］为各真误差Δi的平方和，［ΔΔ］＝Δ12＋Δ22＋…＋Δn2。

中误差的大小是以其绝对值来比较的，中误差绝对值较小则精度高；反之精度低。

中误差m不是个别观测值的真误差，它仅是真误差的代表值。中误差代表的是一组观测值的精度，它描述了这一组真误差的离散程度。它的特点是突出了较大误差与较小误差的差异程度，使较大误差对观测结果的影响明显地表现出来，真误差愈大，中误差也愈大，因而它是评定观测精度的可靠标准。

例6.1 两观测小组在相同的观测条件下对某三角形的内角分别进行了5次观测，两组各次观测所得真误差（三角形角度闭合差）如下：

第一组：＋1″、－6″、＋6″、－2″、＋3″；

第二组：－1″、－5″、＋3″、－2″、＋1″。

试计算两组观测值的中误差m1、m2，并指出哪组观测精度高。

解：第一组观测值的中误差m1为：

第二组观测值的中误差m2为：

因 m1＞ m2，故第二组观测值的精度比第一组高。

2.相对误差

凡能表达观测值中所含有误差本身数值大小的误差，称为绝对误差，如真误差、中误差等。绝对误差的大小与被观测量本身的大小无关（如测角误差与角的大小无关）。但当观测误差的大小与观测值的大小相关时，就不能用绝对误差的大小来说明测量精度的高低。

例如分别丈量了1000m和400m的两段距离，观测值的中误差均为±0.2m，此时不能认为这两段距离的精度相同。应采用另一种标准即用相对误差来衡量观测值的精度。

相对误差是指误差的绝对值与相应观测值之比，通常用分子为1、分母为整数的形式表示。即：

误差的绝对值指中误差、真误差、容许误差、闭合差和较差等的绝对值，它们具有与观测值相同的单位。

如上述距离为1000m的相对误差为：；

距离为400m的相对误差为：；

说明前者精度高于后者。

相对误差用于距离丈量的精度评定，它只是一个比值，是一个相对量，没有单位，而非具体的误差值。

3.极限误差

极限误差是指在一定的观测条件下规定的测量误差的限值，又称容许误差或限差。

在观测过程中，由于各种因素的影响，偶然误差的存在是不可避免的，但根据偶然误差的有限性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的界限。

大量的测量实践得出：在一组等精度测量的误差中，绝对值大于1倍中误差的偶然误差，其出现的机率约为32％；而绝对值大于2倍中误差的偶然误差出现的机率约为5％；绝对值大于3倍中误差的偶然误差出现的机率仅为0.3％。由此可认为：在有限的观测次数中，大于3倍中误差的偶然误差几乎是不会出现的。

测量中通常以3倍中误差作为偶然误差的极限误差，用Δ限表示，即：

Δ限＝3m 　（6－5）

在某些精度要求比较高的测量中，常采用2倍中误差作为极限误差，即：（6－6）Δ限＝2m

在测量规范中，对每项测量工作，根据所使用仪器、测量方法及精度等级，分别规定了相应的容许误差，如果观测值的误差超过了容许误差，相应的成果质量就不符合要求，必须进行重测或舍去相应的观测值。