测绘基础：2000国家大地坐标系与高斯投影法

测量工作的基本任务是确定地面点的空间位置，需要用三个量来确定。在测量工作中，这三个量通常用该点在基准面（参考椭球面）上的投影位置和该点沿投影方向到基准面（一般实用上是用大地水准面）的距离来表示。测量工作中，通常用下面几种坐标系来确定地面点位。

2.2.1 地理坐标系

按坐标系所依据的基本线和基本面不同以及求坐标的方法不同，地理坐标系又分为天文地理坐标系和大地地理坐标系。

如图2.3所示，N、S分别是地球的北极和南极，NS称为自转轴。包含自转轴的平面称为子午面。子午面与地球表面的交线称为子午线。通过格林尼治天文台的子午面称为首子午面。通过地心垂直于地球自转轴的平面称为赤道面，赤道面与椭球面的交线称为赤道。

如图2.3所示，以通过地面点位的法线为依据，以地球椭球面为基准面的球面坐标系称为大地地理坐标系，地面点的大地地理坐标用大地经度L和大地纬度B来表示。某点P′的大地经度为过P′点的子午面与首子午面的夹角L；某点P的大地纬度为通过P点的法线与赤道平面的夹角B。大地经、纬度是根据起始大地点（又称大地原点，该点的大地经纬度与天文经纬度一致）的大地坐标，按大地测量所得的数据推算而得的。

我国于20世纪50年代和80年代分别建立了1954年北京坐标系（简称“54坐标系”）和1980西安坐标系（简称“80坐标系”）。限于当时的技术条件，我国大地坐标系基本上是依赖于传统技术手段实现的。54坐标系采用的是克拉索夫斯基椭球体，该椭球在计算和定位的过程中，没有采用中国的数据，该系统在我国范围内符合得不好，不能满足高精度定位以及地球科学、空间科学和战略武器发展的需要。20世纪80年代，我国大地测量工作者经过20多年的艰巨努力，完成了全国一、二等天文大地网的布测。经过整体平差，采用1975年IUGG（国际大地测量和地球物理学联合会）第十六届大会推荐的参考椭球参数，建立了我国80坐标系。54坐标系和80坐标系在我国经济建设、国防建设和科学研究中发挥了巨大作用。但其成果受技术条件制约，精度偏低，无法满足现代技术发展的要求。经国务院批准，根据《中华人民共和国测绘法》，我国自2008年7月1日起启用2000国家大地坐标系（简称“2000坐标系”）。2000坐标系是全球地心坐标系在我国的具体体现，其原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心。2000坐标系采用的地球椭球参数如下：

长半轴　 a＝6378137m

扁率　

地心引力常数GM＝3.986004418×1014m3s－2

自转角速度 ω＝7.292115×10－5rads－1

如图2.4所示，以通过地面点位的铅垂线线为依据，以大地水准面为基准面的球面坐标系称天文地理坐标系。地面点的天文地理坐标用天文经度λ和天文纬度φ来表示。某点P的天文经度为过P点的子午面与首子午面的夹角λ；某点P的纬度为通过P点的铅垂线与赤道平面的夹角φ。

图2.3 大地地理坐标系

图2.4 天文地理坐标系

大地坐标和天文坐标，自首子午线起，向东0°～180°称东经，向西0°～180°称西经。自赤道起，向北0°～90°称北纬，向南0°～90°称南纬。例如北京的某点的大地地理坐标为东经L＝116°28′，北纬B＝39°54′。

2.2.2 高斯平面直角坐标系

当测区范围较小，把地球表面的一部分当做平面看待时，所测得地面点的位置或一系列点所构成的图形，可直接用相似而缩小的方法描绘到平面上去。如果测区范围较大，就不能把地球很大一块地表面当做平面看待，必须采用适当的投影方法来解决这个问题。我国采用的是高斯投影法，并由高斯投影来建立平面直角坐标系。高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影，它是德国数学家高斯于1825—1830年首先提出的。实际上，直到1912年，由德国的另一位测量学家克吕格推导出实用的坐标投影公式后，这种投影才得到推广。所以，该投影又称为高斯－克吕格投影。如图2.5所示，假想有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线（此子午线称为中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面，如图2.6所示，此投影为高斯投影，也是正形投影的一种。高斯平面投影的特点：投影后，中央子午线无变形；角度无变形，图形保持相似；离中央子午线越远，投影变形越大。

图2.5 横轴椭圆柱等角投影

图2.6 高斯投影

1.高斯投影6°分带

如图2.7所示，投影带是从首子午线起，每隔经度6°划分一带，称为6°带，将整个地球划分成60个带。带号从首子午线起自西向东编，0°～6°为第1号带，6°～12°为第2号带……位于各带中央的子午线，称为中央子午线，第1号带中央子午线的经度为3°，任意号带中央子午线的经度λ0，可按式（2－2）计算。

图2.7 6°分带

λ0＝6 N－3 　（2－2）(www.xing528.com)

式中：N——6°带的带号。

我国6°带中央子午线的经度，由东经75°起，每隔6°至135°，共计11带，即从13带到23带。

2.高斯投影3°分带

当要求投影变形更小时，可采用3°带投影或1.5°带投影法。也可采用任意分带法。如图2.8所示，3°带是从经度为1.5°的子午线起，以经差每3°划分一带，自西向东，将全球分为120个投影带，并依次以1，2，…，120标记带号，以N3表示，我国3°带共计22带（24～45带）。各投影带的中央子午线经度以L3表示。中央子午线经度L3与其带号N3有下列关系：

L3＝N3×3° 　（2－3）

图2.8 高斯平面直角坐标系6°带投影与3°带投影的关系

3.高斯平面直角坐标系

图2.9（a）在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标x轴，向北为正，以赤道的投影为横坐标y轴，向东为正，四个象限按顺时针顺序Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ排列。如图2.9 （b）所示。我国地理位置在北半球，x坐标都是正的，y坐标则有正有负，为了避免y坐标出现负值，规定将x坐标轴向西平移500km，即所有点的y坐标均加上500km。此外，由于每个投影带都有这样一个坐标相同的点，为说明点所在的投影带，在y坐标前再冠之以投影带的带号，这种在y坐标值上加了500km和带号后的横坐标称为通用坐标，亦即国家统一坐标。例如，有一点通用坐标y＝19 123 456.789m，该点位在19带内，其相对于中央子午线而舀的横坐标则是：首先去掉带号，再减去500000m，最后得自然坐标y＝－376 543.211m。

例1 某点在中央子午线的经度为117°的6°投影带内，且位于中央子午线以西1006.45m，求该点横坐标的自然值和通用值。

解：（1）该6°带的中央子午线的经度为117°，则该带的带号为

N＝（117＋3）÷6＝20带

（2）该点位于中央子午线以西1006.45m，所以该点横坐标的自然值为－10046.45m。

（3）依据通用值＝ 带号［ ］＋500km＋自然值，该点的横坐标通用值为20 498 993.55。

例2 已知某点的坐标为（3 325 748.046，37 581 245.498）。求：是几度投影带？投影带的带号及中央子午线的经度是多少？横坐标的自然值是多少？

图2.9

解：（1）因为横坐标的带号为37，所以是3°投影带。依据L3＝N3×3°可知：

中央子午线的经度为 L3＝3×37＝111

（2）横坐标的自然值＝581 245.498－500 000＝81 245.498

2.2.3 独立平面直角坐标系

在小范围内（一般半径不大于10km的范围内），把局部地球表面上的点，以正射投影的原理投影到水平面上，在水平面上假定一个直角坐标系，用直角坐标描述点的平面位置。

独立平面直角坐标建立方法，一般是在测区中选一点为坐标原点，以通过原点的真南北方向（子午线方向）为纵坐标x轴方向，以通过原点的东西方向（垂直于子午线方向）为横坐标y轴方向。为了便于直接引用数学中的有关公式，以右上角为第Ⅰ象限，顺时针排列依次为Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限。为了避免测区内出现负坐标值，坐标原点选在测区的西南角。直角坐标系建立以后，地面上各点的位置都可以用坐标（x，y）表示。即地面点可用坐标反映在图纸上，图上的点也可用坐标准确的反映在地面上。独立平面坐标施测完毕以后，尽量与国家坐标系连测，以便测量成果通用。