轴测投影图是用平行投影的方法画出来的一种富有立体感的图形，它接近于人们的视觉习惯，在生产和学习中常用作辅助图样。由于轴测投影图度量性差，很难准确反映形体的实际大小，所以只作辅助图样，如图2.27所示。
图2.27 形体三面投影图与轴测投影图的比较
1）轴测投影的形成及其有关概念
（1）轴测投影图的形成
将形体连同确定它空间位置的直角坐标系一起，用平行投影法，沿不平行坐标轴的方向S投射到一个投影面P上，所得的投影称为轴测投影，如图2.28所示。用这种方法画出的图称为轴测投影图，简称轴测图，俗称立体图。由于在单一投影面上同时反映了形体的长、宽、高3个向度，接近人的视觉印象，故富有立体感。在单面投影中同时获得形体长、宽、高3个方向信息，一般采用下述方法。
①如图2.29（a）所示，使形体三维方向亦即空间直角坐标系O-XYZ与投影面P倾斜，采用正投影法将形体投射到投影面P上。此时由于三维方向均不积聚而能同时得到反映，使投影呈现立体感，这样获得的投影称为正轴测投影。
②如图2.29（b）所示，不改变形体对投影面的相对位置，亦即形体三维方向仍平行于投影轴，但用斜投影法将形体投射到投影面P上，从而获得形体直观的三维形象，这种投影称斜轴测投影。
图2.28 轴测投影图的形成
图2.29 轴测投影的形成
接受轴测投影的投影面P被称为轴测投影面，将赋予形体上的直角坐标轴OX、OY、OZ在轴测投影面上的投影O1X1、O1Y1、O1Z1称为轴测投影轴，简称轴测轴。
（2）轴测投影的特性
由于轴测投影属于平行投影，故具备平行投影的特性：
①空间直角坐标轴投影成为轴测投影轴以后，直角在轴测图中一般已不是90°，但是沿轴测轴确定长、宽、高3个坐标方向的性质不变，即仍可沿轴确定长、宽、高方向。
②平行性：空间互相平行的直线其轴测投影仍保持平行。如果AB∥CD，则其轴测投影A1B1∥C1D1，即形体上与空间直角坐标轴平行的线段，其轴测投影平行于相应的轴测轴。
③定比性：空间各平行线段的轴测投影的变化率相等。如果AB∥CD，则A1B1∥C1D1，且AB/CD=A1B1/C1D1。
这就是说，平行两直线的投影长度，分别与各自的原来长度的比值是相等的，该比值称为变化率。所以，空间各平行线段的轴测投影的变化率相等。因此，在轴测图中，形体上平行于坐标轴的线段的变化率等于相应坐标轴的变化率。
但应注意，形体上不平行于坐标轴的线段（非轴向线段）的投影变化与平行于坐标轴的线段不同，因此不能将非轴向线段的长度直接移到轴测图上。画非轴向线段的轴测投影时，需要用坐标法定出其两端点在轴测坐标系中的位置，然后再连成线段的轴测投影图。
（3）轴间角和轴向变化率
分别以oPxP、oPyP、oPzP表示轴测轴。3个轴测轴间的夹角∠xPoPyP、∠yPoPzP及∠xPoPzP称为轴间角。它们可以用来确定3个轴测轴间的相互位置，显然，也确定了与OX、OY、OZ之间的角度。如图2.30所示，OaX、OaY、OaZ为A点的坐标线段，长分别为m、n、l，A点的坐标线段投影成为oPaxP、oPayP、oPazP，称为轴测坐标线段，长分别为i、j、k。
在空间坐标系，投射方向和投影面三者相互位置被确定时，点A的轴测坐标线段与其相对应的坐标线段的比值称为轴向变化率，分别用p、q、r表示。
图2.30 点的轴测投影
根据上式得：
p、q、r分别称为x轴、y轴、z轴的轴向变化率。
这样，如果已知轴测投影中的轴测轴的方向和变化率，则与每条坐标轴平行的直线，其轴测投影必平行于轴测轴，其投影长度等于原来长度乘以该轴的变化率。这就是把这种投影法称为轴测投影的原因。
轴间角和轴向变化率是作轴测图的两个基本参数。随着物体与轴测投影面相对位置的不同以及投影方向的改变，轴间角和轴向变化率也随之而改变，从而可以得到各种不同的轴测图。
（4）轴测投影的分类
轴测投影按投射线与投影面相对位置的不同，分为正轴测投影和斜轴测投影两类，每类按轴向变化率的不同又分为3种。
①正（或斜）等测轴测投影：3个轴向变化率均相等，即p=q=r，简称正（或斜）等测。
②正（或斜）二测轴测投影：3个轴向变化率其中有两个相等，即p=q≠r，简称正（或斜）二测。
③正（或斜）三测轴测投影：3个轴向变化率均不相等，即p≠q≠r，简称正（或斜）三测。
工程上常采用正等测、正二测和斜二测投影。
（5）正等轴测投影图、斜二轴测投影图的形成
轴测投影图的轴间角是画轴测投影图时建立坐标系的依据，轴向变化系数是画轴测投影图时量取尺寸的依据。
正等轴测投影图的3个轴间角均为120°。3个轴向伸缩系数均约为0.82，为了便于作图，采用简化伸缩系数，即p1=q1=r1=1。作图时，O1Z1轴一般画成铅垂线，O1X1、O1Y1轴与水平方向成30°角，如图2.31所示。
斜二轴测投影的轴间角：∠X1O1Z1=90°，∠X1O1Y1=∠Y1O1Z1=135°。轴向伸缩系数：p1=r1=1，q1=0.5。作图时，O1Z1轴一般画成铅垂线，O1X1轴与O1Z1轴垂直画成求平线，O1Y1轴画成与水平方向成45°角，如图2.32所示。
图2.31 正等轴测投影的轴间角
图2.32 斜二轴测投影的轴间角
2）正等轴测投影图、斜二轴测投影图的画法
画轴测投影图的基本方法是坐标法，即按坐标系画出形体上各点，然后按照点连线、线围面、面围体的方法完成形体轴测投影图的绘制。但在作图时，还应根据物体的形状特点而灵活采用其他不同的方法。
此外，在画轴测投影图时，为了使图形清晰，一般不画不可见轮廓线（虚线）。
特别提示
画轴测投影图时还应注意，只有平行于轴向的线段才能直接量取尺寸，不平行于轴向的线段可由该线段的两端点的位置来确定。
轴测投影图是按平行投影的原理得到的，所以作图时要遵循平行投影的一切特性：
①相互平行的直线的轴测投影仍相互平行（因此，形体上平行于坐标轴的线段，其轴测投影必然平行于相应的轴测轴，且其变形系数与相应的轴向变形系数相同）；
②两平行直线或同一直线上的两线段的长度之比，轴测投影后保持不变（因此，形体上平行于坐标轴的线段，其轴测投影长度与实长之比等于相应的轴向变形系数）。
（1）平面立体轴测投影图的画法
为了使作图简便，图形清晰，作图时应分析清楚立体的特点，灵活应用坐标法，一般先从可见部分开始作图。
正等轴测投影图和斜二轴测投影图的画法基本一样，只是画图时根据轴间角建立的坐标系不同，根据轴向变化系数的不同，量取尺寸时的比例不同。
【例2.3】 如图2.33（a）所示，根据五棱柱的三面投影图，完成其正等轴测投影图。
【解】 棱柱体由于上、下底面的大小形状相等且棱线互相平行，所以在作图时，先用坐标法把棱柱的顶面画出，再过顶面上的每一个点作互相平行的棱线，最后完成底面的作图。
解题步骤如下：
①分析立体，在三面投影中确定坐标原点，如图2.33（b）所示。
②根据正等轴测投影图的轴间角建立画图坐标系，如图2.33（c）所示。
③根据正等轴测投影图的轴向变化系数，用坐标法完成棱柱体顶面5个点的轴测投影（三面投影图中1点与2点、3点与5点、O点与4点、O点与K之间的距离同轴测投影图中1点与2点、3点与5点、O点与4点、O点与K之间的距离相等），依次连接1、2、3、4、5五个点，完成棱柱体顶面的轴测投影，如图2.33（d）所示。
④过顶面上的5个点作互相平行的5条棱线（三面投影图中的棱线高同轴测投影图中的棱线高相等），由于过2点作的棱线不可见，所以不作，如图2.33（e）所示。
⑤绘制底面，如图2.33（f）所示。
⑥去掉作图线，如图2.33（g）所示。
⑦加深图线，如图2.33（h）所示。
图2.33 绘制五棱柱的正等轴测投影图
【例2.4】 如图2.34（a）所示，根据五棱锥的三面投影图，完成其斜二轴测投影图。
【解】 绘制棱柱体的轴测投影图时，应先用坐标法完成棱锥的底面，再完成锥顶，最后把锥顶与底面的各点连接完成棱线。
解题步骤如下：
①分析立体，在三面投影中确定坐标原点，如图2.34（b）所示。
②根据正等轴测投影图的轴间角建立画图坐标系，如图2.34（c）所示。
③根据正等轴测投影图的轴向变化系数，用坐标法完成棱锥底面5个点的轴测投影（三面投影图中1点与2点、3点与5点之间的距离与轴测投影图中1点与2点、3点与5点之间的距离相等；轴测投影图中O点与4点、O点与K点之间的距离是三面投影图中O点与4点、O点与K点之间的距离的一半），依次连接1、2、3、4、5五个点，完成棱锥底面的轴测投影，如图2.34（d）所示。
④用坐标法作锥顶的轴测投影（三面投影图中的O′S′同轴测投影图中的OS相等），如图2.34（e）所示。
⑤把锥顶与底面的各点连接完成棱线，S与2连接不可见，所以不作，如图2.34（f）所示。(www.xing528.com)
⑥去掉作图线和不可见图线，如图2.34（g）所示。
⑦加深图线，如图2.34（h）所示。
图2.34 绘制五棱锥的斜二轴测投影图
（2）曲面立体轴测投影图的画法
曲面立体，不可避免地会遇到圆与圆弧的轴测投影画法。为简化作图，在绘图中，一般使圆外的平面平行于坐标面，从而可以得到其正等轴测投影为椭圆。作图时，一般以圆的外接正方形为辅助线，先画出正方形的轴测投影，再用四心圆法近似画出椭圆。
【例2.5】 如图2.35（a）所示，根据圆柱的两面投影图，完成其正等轴测投影图。
【解】 解题步骤如下：
①建立绘制轴测图的坐标系，并在X轴和Y轴上根据圆柱底面圆的半径确定4个点（圆柱底面圆外接正方形各边的中点），如图2.35（b）所示。
②过X轴上的两个点向Y轴作平行线，过Y轴上的两个点向X轴作平行线，两组平行线围成一个四边形（圆柱底面圆外接正方形的轴测投影），如图2.35（c）所示。
③确定4个圆心，即过四边形对角线短的两个顶点向其对边的中点相连接，连线的4个交点就是4个圆心，如图2.35（d）所示。
④过4个圆心作4段圆弧，完成圆柱顶面的投影，如图2.35（e）所示。
⑤用画顶面圆的方法，完成底面圆的轴测投影，如图2.35（f）所示。
⑥作顶面、底面圆的公切线，如图2.35（g）所示。
⑦去掉作图线和看不见的图线，如图2.35（h）所示。
⑧加深图线，如图2.35（i）所示。
图2.35 绘制圆柱的正等轴测投影图
当曲面立体上的圆或圆弧所在平面平行于坐标平面XOZ时，用斜二轴测投影作曲面立体的轴测投影图，就会简便很多。
【例2.6】 如图2.36（a）所示，根据立体的两面投影，完成其斜二轴测投影图。
【解】 解题步骤如下：
①建立坐标系，如图2.36（b）所示。
②画前端面（由于前端面平行于坐标平面XOZ，所以前端面的轴测投影与立体前端面在V面投影上的形状一样，大小相等），如图2.36（c）所示。
③画后端面（由于前后端面平行，所以只需把前端面沿Y轴方向，向后平移立体宽度的一半即可），如图2.36（d）所示。
④画棱线和半圆柱的公切线，如图2.36（e）所示。
⑤去掉作图线、加深图线，如图2.36（f）所示。
图2.36 立体斜二轴测投影图绘制
（3）平面截切基本体轴测投影图的画法
平面截切平面立体轴测投影图的画法是：先画出完整的平面立体，再确定每一个截交点，连截交点为截交线，最后去掉被截切部分，完成作图。
【例2.7】 如图2.37所示，已知平面截切六棱柱的两面投影，完成其正等测投影图。
【解】 解题步骤如下：
①根据图2.33的方法完成六棱柱的正等轴测投影图，如图2.37（b）所示。
②确定截交点：先在两面投影图上定截交点，再利用截交点在棱线或棱面的位置确定截交点的轴测投影图，如图2.37（c）所示。
③连截交点为截交线，如图2.37（d）所示。
④去掉被截切部分，完成作图，如图2.37（d）所示。
图2.37 绘制平面截切六棱柱的正等轴测投影图
【例2.8】 如图2.38（a）所示，已知平面截切半圆柱的两面投影，完成其斜二轴测投影图。
【解】 解题步骤如下：
①完成半圆柱的正等轴测投影图，如图2.38（b）所示。
②确定截交点：先在两面投影图上定截交点，再利用截交点在半圆柱表面的位置确定截交点的轴测投影图，如图2.38（c）所示。
③连截交点为截交线，如图2.38（d）所示。
④去掉被截切部分，完成作图，如图2.38（d）所示。
特别提示
绘制斜二轴测投影图时，注意Y方向上的轴向变化率为1/2。
连截交线时，要根据图2.14确定截交线的性质。
（4）组合体轴测投影图的画法
在画组合体的轴测图之前，先应通过形体分析了解组合体的组合方式和各组成部分的形状、相对位置，再选择适当的画图方法。一般绘制组合体轴测投影的方法有叠加法、切割法。
图2.38 绘制平面截切半圆柱的斜二轴测投影图
①叠加法。当组合体由基本体叠加而成时，先将组合体分解为若干个基本体，然后按各基本体的相对位置逐个画出各基本体的轴测图，经组合后完成整个组合体的轴测图。这种绘制组合体轴测图的方法称为叠加法。
【例2.9】 求作如图2.39（a）所示组合体的正等轴测投影图。
图2.39 组合体轴测图的画法——叠加法
【解】 解题步骤如下：
①形体分析。由已知的三面投影图可知，该组合体由4个基本体叠加而成，所以，可用叠加法完成组合体的轴测投影图，如图2.39（a）所示。
②建立坐标系。根据正等轴测图轴间角的要求建立坐标系，如图2.39（b）所示。
③绘制各基本体的正等轴测投影图，根据各基本体的相对位置组合各基本体，完成组合体的正等轴测投影图。绘制底板的轴测投影图，如图2.39（c）所示；绘制背板的轴测投影图，并与底板组合，如图2.39（d）所示；绘制两个侧板的轴测投影图，并与底板和背板组合，如图2.39（e）所示。
④去掉多余的图线（基本体叠加后，端面平齐不应有接缝），如图2.39（f）所示。
⑤校核、清理图面，加深图线，如图2.39（g）所示。
②切割法。当组合体由基本体切割而成时，先画出完整的原始基本体的轴测投影图，然后按其切平面的位置，逐个切去多余部分，从而完成组合体的轴测投影图。这种绘制组合体轴测图的方法称为切割法。
【例2.10】 求作如图2.40（a）所示组合体的正等轴测投影图。
【解】 解题步骤如下：
①形体分析：由已知的三面投影图可知，该组合体是在四棱柱的基础上由8个切平面经3次切割而成，所以，可用切割法完成组合体的轴测投影图。
②建立坐标系：根据正等轴测投影图的要求建立坐标系，如图2.40（b）所示。
③画完整四棱柱的正等轴测投影图，如图2.40（c）所示。
④按切平面的位置逐个切去被切部分，如图2.40（d）、（e）、（f）所示。
⑤校核、清理图面，加深图线，如图2.40（g）所示。
图2.40 组合体轴测图的画法——切割法
有些组合体俯视时主要部分互相遮住不可见，用仰视画出组合体的轴测投影图，则直观效果较好。
【例2.11】 画出如图2.41（a）所示组合体的仰视斜二轴测投影图。
【解】 如图2.41（a）所示，组合体是由一个四棱柱和两个六棱柱叠加而成。解题步骤如图2.41（b）、（c）、（d）、（e）所示。
图2.41 组合体的仰视斜二轴测投影图画法
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