直线与平面、平面与平面的相对位置有平行、相交和垂直3种情况（垂直属于相交的特殊情况）。
图1.101 直线和平面平行的条件
1）直线与平面、平面与平面平行
（1）直线与平面平行
若直线平行于平面上的任一直线，则此直线必与该平面平行。如图1.101所示，直线AB与平面H上的任一直线CD（或EF）平行，则AB∥H面。
【例1.18】 如图1.102所示，过△ABC外一点D，作一条水平线DE与△ABC平行。
【解】 求作水平线DE与△ABC平行，可以先在△ABC上作一条水平线，使DE与该直线平行，则DE∥△ABC，DE与该水平线的同面投影必平行。
解题步骤如图1.102（b）、图1.102（c）所示：
①在△ABC上作一水平线BF（b′f′、bf）；
②过d′作直线d′e′∥b′f′，过d作de∥bf，则DE即为所求。
图1.102 过已知点作水平线平行于已知平面
判别直线是否与平面平行，可归结为在平面上能否作出一直线与该直线平行。
【例1.19】 如图1.103（a）所示，已知ABCD平面外一直线MN，判别MN是否与该平面平行。
【解】 如图1.103（b）所示，在ABCD平面的V面投影图上作直线b′e′∥m′n′并与c′d′相交于e′，由e′求得e，连直线be，因为be∥mn，所以MN与平面ABCD平行。
图1.103 判别直线与平面是否平行
图1.104 两平面平行的条件
（2）平面与平面平行
若一平面上的相交两直线与另一平面上的相交两直线对应平行，则该两平面互相平行。如图1.104所示，P平面内的两条相交直线AB、AC分别平行于Q平面内的两条相交直线A1B1、A1C1，则P平面平行于Q平面。
【例1.20】 如图1.105（a）所示，判别△ABC和△DEF两平面是否相互平行。
【解】 要判断两平面是否平行，就要看在两平面上能否找到一对相交直线对应平行。
在△ABC上的一点A作相交两直线AG和AK，使它们的V面投影a′g′∥d′e′，a′k′∥d′f′，由a′g′和a′k′作出ag和ak，因为ag∥de，但ak∥df，所以△ABC∥△DEF。
图1.105 判别两平面是否平行
【例1.21】 如图1.106（a）所示，过点K作一平面与平行两直线AB和CD所决定的平面平行。
【解】 在已知平面上先连接AC，使该平面转换为由相交两直线AB和AC所决定的平面，再过k′作k′e′∥a′b′，k′f′∥a′c′，过k作ke∥ab、kf∥ac，相交两直线KE和KF所决定的平面即为所求。
图1.106 过已知点作平面与已知平面平行
2）直线与平面、平面与平面相交
直线与平面或平面与平面之间，若不平行则必相交。直线与平面相交产生交点；平面与平面相交产生交线，交线是一条直线。
直线与平面相交的交点是直线与平面的共有点，该点既在直线上又在平面上。求解交点的投影，则需利用直线和平面的共有点或在平面上取点的方法。平面与平面的交线是一条直线，是两平面的共有线，求交线时只要先求出交线上的两个共有点（或一个交点和交线的方向），连之即得。在投影图中，为增强图形的清晰感，必须判别直线与平面、平面与平面投影重叠的那一段（称重影段）的可见性。
（1）投影面垂直线与一般位置平面相交
利用投影面垂直线的积聚性，可直接求出交点。
【例1.22】 如图1.107（a）所示，求作铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点。
图1.107 铅垂线与一般面相交
【解】 因为平面与直线的交点可以看成直线上的点，利用直线在H面的积聚性投影可直接找到交点K的H面投影k，再利用面上取点的方法即可求出k′。对V面上线面投影重影段的可见性，必须利用交叉直线重影点的可见性来判别。
①求交点的投影：如图1.107（b）所示。
②判断可见性：a′b′及a′c′与e′f′的交点均为重影点，可任选其中的一点如1′（2′），它们是AB上的Ⅱ点与EF上的Ⅰ点在V面上重影。由其H面投影可知，Ⅰ点在前，即e′k′段可见，而k′f′的则为不可见（画虚线）。(www.xing528.com)
（2）一般位置直线与投影面垂直面相交
利用投影面垂直面的积聚性投影，即可直接求出交点。
【例1.23】 如图1.108所示，求铅垂面ABC与一般位置直线DE的交点，并判别可见性。
【解】 因K在DE上，k必在de上；又因K在△ABC上，故k必积聚在△ABC的H面投影abc上，即k必是de与abc的交点。由k作OX轴的垂线与d′e′相交于k′，K（k′，k）即为所求。
又因直线DE穿过△ABC，在交点K之前的一段为可见，交点K之后则有一段被平面遮挡而为不可见，显然交点K为可见与不可见段的分界点。由于铅垂面的H面投影有积聚性，故可根据它们之间的前后关系直接判别其V面投影的可见性。
①求交点：如图1.108（b）所示。
②判断可见性：如图1.108（c）所示，ke一段均在k之前，k′e′为可见，而k′之后的重影段为不可见（画虚线）。对H面投影的可见性，因投影具有积聚性，无须判别其可见性。
图1.108 求直线与投影面垂直面的交点
（3）一般位置平面与投影面垂直面相交
【例1.24】 如图1.109（a）所示，求铅垂面ABC与一般面DEF的交线，并判别可见性。
【解】 在【例1.23】的基础上增加直线EF，而构成相交两直线所表示的一般面与铅垂面△ABC相交，求其交线。显然，这是上一问题的叠加。可同前求出交线上的一点K（k′，k）后，再求EF与△ABC的交点M（m′，m），连KM（k′m′，km）即为所求。
关于可见性的判别，是在上述的线面相交可见性的基础上进行，显然交线一般情况下，属可见，而且是两平面投影重叠处可见与不可见的分界线，即两平面投影重叠处被分为两部分，交线一侧为可见，另一侧为不可见。又已知两平面周界边线之间均为交叉直线，且每一对交叉直线中，若一条边线为可见，另一条必不可见。由此对V面可见性的判别，因ED、EF两直线为同一平面，故交点M（m′，m）之后的一段也和K（k′，k）之后一样，均为不可见。这时又由于e′k′可见，即e′m′亦为可见，则与之交叉的重叠段b′c′为不可见（画虚线）。同理，可判别其余部分的可见性。
解题步骤如图1.109所示。
图1.109 一般面与铅垂面相交
图1.110 一般位置直线与 一般位置平面的交点求法
（4）一般位置直线与一般位置平面相交
由于一般位置直线、面的投影没有积聚性，不能在投影图上直接定出其交点。如图1.110所示，求交点时，可采用辅助平面进行作图：
①包含直线DF作辅助平面R；
②求平面P与辅助平面R的交线MN；
③求出交线MN与直线DF的交点K，即为所求。
为作图方便，常取投影面垂直面作为辅助平面。
【例1.25】 如图1.111（a）所示，求直线DF与△ABC的交点，并判别其可见性。
图1.111 一般位置直线与一般位置平面相交
【解】 解题步骤如下：
①包含DF作一辅助铅垂面R，这时df与RH重合；
②求辅助平面R与△ABC的交线MN（m′n′，mn）；
③m′n′与d′f′相交于k′，即为所求交点K（k′，k）的V面投影，可在df上定出k，即为所求交点K的H面投影；
④利用重影点，判别其投影重合部分的可见性。
（5）两个一般位置平面相交
【例1.26】 如图1.112（a）所示，求一般面△ABC与一般面△DEF的交线，并判别其可见性。
【解】 如图1.112（a）所示，可看作是在【例1.25】的基础上，添加一直线DE而形成相交两直线所表示的一般面与△ABC相交，求交线。可分别求出DF、DE与△ABC相交的两个交点再连接两个交点完成两平面相交的交线。
①完成交点K（k′，k）的投影：求作方法同【例1.25】，如图1.112（b）所示。
②同理，可求出DE与△ABC的交点G（g′，g），如图1.112（c）所示。
③连接KG（k′g′，kg），即为所求的交线，如图1.112（d）所示。
④判断可见性。根据重影点判别两平面投影重合部分的可见性。交线是可见不可见的分界线，同面相邻边的可见性相同，异面相邻边的可见性相反，如图1.112（d）所示。
图1.112 两个一般位置平面相交
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