在科学研究、生产运行、产品开发等实践中，对于单因素或双因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单，但对于3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。正交试验设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。正交试验设计极大地减少了试验次数，提高试验效率，是解决多因素试验的有效方法。
一、正交表
1.各列水平数均相同的正交表
各列水平数均相同的正交表，也称单一水平正交表。这类正交表名称的写法举例如下。
各列水平均为2的常用正交表有：L4（23），L8（27），L12（211），L16（215），L20（219），L32（231）。
各列水平数均为3的常用正交表有：L9（34），L27（313）。
各列水平数均为4的常用正交表有：L16（45）。
各列水平数均为5的常用正交表有：L25（56）。如表8-1所示为正交表举例。
表8-1 L4（23）正交表
正交的含意：若将表中2换成-1，则任一列之和为0，任两列乘积的和为0。若将列看作向量，则两向量垂直相交，即正交。
2.混合水平正交表
各列水平数不相同的正交表，叫混合水平正交表，下面就是一个混合水平正交表名称的写法。
L8（41×24）常简写为L8（4 ×24）。此混合水平正交表含有1个4水平列，4个2水平列，共有1 +4=5列。
3.有交互作用的正交表
（1）交互列的位置 要查交互列表，如L8（27）如表8-2、表8-3所示。
表8-2 L8（27）正交表
表8-3 L8（27）二列间交互作用表
（2）混杂 若在交互两因素的交互列上，安排其他因素或其他因素的交互，则在此列将出现混杂现象。
（3）如何对待混杂
①若不想用较多的试验，则就可能有混杂，此时要用专业经验来判断。
②若不研究规律，只找出参数较优组合，则可不考虑混杂。
二、正交表的特点
1.正交性
（1）任一列中，各水平都出现，且出现的次数相等。
例：L8（27）中不同数字只有1和2，它们各出现4次；L9（34）中不同数字有1、2和3，它们各出现3次。
（2）任两列之间各种不同水平的所有可能组合都出现，且出现的次数相等。
例：L8（27）中（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2）各出现两次；L9（34）中（1，1）、（1，2）、（1，3），（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）各出现1次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平所有可能组合次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。
2.代表性
一方面，任一列的各水平都出现，使得部分试验中包括了所有因素的所有水平；任两列的所有水平组合都出现，使任意两因素间的试验组合为全面试验。
另一方面，由于正交表的正交性，正交试验的试验点必然均衡地分布在全面试验点中，具有很强的代表性。因此，部分试验寻找的最优条件与全面试验所找的最优条件，应有一致的趋势。
3.综合可比性
（1）任一列的各水平出现的次数相等。
（2）任两列间所有水平组合出现次数相等，使得任一因素各水平的试验条件相同。这就保证了在每列因素各水平的效果中，最大限度地排除了其他因素的干扰。从而可以综合比较该因素不同水平对试验指标的影响情况。
根据以上特性，我们用正交表安排的试验，具有均衡分散和整齐可比的特点。
所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均匀的。
整齐可比是指每一个因素的各水平间具有可比性。因为正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个水平，当比较某因素不同水平时，其他因素的效应都彼此抵消。如在A、B、C3个因素中，A因素的3个水平A1、A2、A3条件下各有B、C的3个不同水平，如表8-4所示：
表8-4
在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同，但B、C皆处于同等地位。当比较A因素不同水平时，B因素不同水平的效应相互抵消，C因素不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水平间具有综合可比性。同样，B、C因素3个水平间亦具有综合可比性。
正交表的三个基本性质中，正交性是核心，是基础，代表性和综合可比性是正交性的必然结果。
三、正交试验设计的基本步骤
设计实验方案的主要步骤如下。
（1）明确试验目的，确定试验指标；
（2）确定需要考察的因素，选取适当的水平；
（3）选用适当的正交表；(www.xing528.com)
（4）进行表头设计；
（5）编制试验方案；
（6）试验结果分析。
1.明确试验目的，确定试验指标
试验设计前必须明确试验目的，即本次试验要解决什么问题。试验目的确定后，对试验结果如何衡量，即需要确定出试验指标。试验指标可以是定量指标，也可以是定性指标。一般为了便于试验结果的分析，定性指标可按相关的标准打分或模糊数学处理进行数量化，将定性指标定量化。
2.选因素、定水平，列因素水平表
根据专业知识、以往的研究结论和经验，从影响试验指标的诸多因素中，通过因果分析筛选出需要考察的试验因素。一般确定试验因素时，应以对试验指标影响大的因素、尚未考查过的因素、尚未完全掌握其规律的因素为先。试验因素选定后，根据所掌握的信息资料和相关知识，确定每个因素的水平，一般以2～4个水平为宜。对主要考查的试验因素，可以多取水平，但不宜过多（≤6），否则试验次数骤增。因素的水平间距，应根据专业知识和已有的资料，尽可能把水平值取在理想区域。
3.选择合适的正交表
正交表的选择是正交试验设计的首要问题。确定了因素及其水平后，根据因素、水平及需要考查的交互作用的多少来选择合适的正交表。正交表的选择原则是在能够安排试验因素和交互作用的前提下，尽可能选用较小的正交表，以减少试验次数。基本原则如下所述。
（1）先看水平数。若各因素全是2水平，就选用L（2＊）表；若各因素全是3水平，就选L（3＊）表。若各因素的水平数不相同，就选择适用的混合水平表。
（2）每一个交互作用在正交表中应占一列或两列。要看所选的正交表是否足够大，能否容纳得下所考虑的因素和交互作用。为了对试验结果进行方差分析或回归分析，还必须至少留一个空白列，作为“误差”列，在极差分析中要作为“其他因素”列处理。
（3）要看试验精度的要求。若要求高，则宜取试验次数多的L表。
（4）若试验费用很昂贵，或试验的经费很有限，或人力和时间都比较紧张，则不宜选实验次数太多的L表。
（5）按原来考虑的因素、水平和交互作用去选择正交表，若无正好适用的正交表可选，简便且可行的办法是适当修改原定的水平数。
（6）对某因素或某交互作用的影响是否确实存在没有把握的情况下，选择L表时常为该选大表还是选小表而犹豫。若条件许可，应尽量选用大表，让影响存在的可能性较大的因素和交互作用各占适当的列。某因素或某交互作用的影响是否真的存在，留到方差分析进行显著性检验时再做结论。这样既可以减少试验的工作量，又不至于漏掉重要的信息。
一般情况下，试验因素的水平数应等于正交表中的水平数；因素个数（包括交互作用）应不大于正交表的列数；最低的试验次数（行数）=∑（每列水平数-1）+1。
例：选择一个4因素3水平试验的正交表可以选用L9（34）或L27（313）。
（A）不考查因素间的交互作用，宜选用L9（34）。
（B）考查交互作用，则应选用L27（313）。
4.表头设计
表头设计，就是把试验因素和要考查的交互作用分别安排到正交表的各列中的过程。
（1）若试验不考虑交互作用，则表头设计可以是任意的。
例：不考查交互作用，可将因素（A）、（B）和（C）、（D）依次安排在L9（34）的第1、2、3、4列上，如表8-5所示。
表8-5 无交互作用L9（34）表头设计
（2）若试验有交互作用时，表头设计则必须严格地按交互作用正交表设计。
三个因素A、B、C，2个水平时，正交表的设计如表8-6所示。
表8-6 L8（27）二列间交互作用表
如表8-6所示，最上一行和最左侧一列数字以及括号（呈对角线）内的数字是列号，其余数字均为交互作用的列号。对于三因素A、B、C而言，先将因素A、B置放在表的第1、2列，则A和B相交的位置上的数字为3。即A×B应置放在第3列上，再将因素C置放于第4列，则A和C相交位置上的数字是5，B和C相交位置上的数字是6，这样A和C及B和C的交互作用列应分别为第5列和第6列。如果考查时还有第四个因素D，并将它置放于第6列，根据上表可得如表8-7的表头设计。
表8-7 有交互作用L8（27）表头设计
这样的设计中，虽有B和C×D、C与B×D、D与B×C的混杂，但如果已知B、C、D之间的交互作用很小。故不致影响试验结果的分析，仍可引进因素A、B、C及交互作用A×B、A×C及A×D的考查。如果要对四个因素及其两两之间的交互作用都作全面的考查，不允许上述存在的几种混杂，故此时不能选用L8（27）表，而选用L16（215）二列向的交互作用表，如表8-8所示。
表8-8 L16（215）二列向的交互作用表
续表
这样，对于四因素的标头设计，如表8-9所示。
表8-9 有交互作用L16（215）表头设计
如表8-9所示，D未置入第7列。原因是D置于7列后，A×D应置第6列，导致与B×C的混杂。
对于五因素二水平的试验，在同时考虑各因素之间的交互作用时，因五因素自身及它们之间的两两交互作用共有15项，仍可用L16（215）二列间交互作用表，其表头设计，如表8-10所示。
表8-10 有交互作用L16（215）表头设计
5.编制试验方案，按方案进行试验，记录试验结果。
把正交表中安排各因素的列（不包含欲考查的交互作用列）中的每个水平数字换成该因素的实际水平值，便形成了表8-11中的正交试验方案。
表8-11说明试验号并非试验顺序，为了排除误差干扰，试验中可随机进行；安排试验方案时，部分因素的水平可采用随机安排。
表8-11 试验方案及试验结果表
6.实验结果分析
采用正交表设计的试验，都可用正交表分析试验的结果。分析方法有直观分析法和方差分析两种方法，在后面章节中会详细讲述。
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