试验设计：有效数字与统计分析

一、有效数字

有效数字：在测量结果的数字表示中，若干位可靠数字加一位可疑数字便构成了有效数字。试验数据总是以一定位数的数字表示出来，这些数字都是有效数字，而有效数字的末位数字往往是估计出来的，具有一定的误差。例如，用量筒测量出试验液体的体积为35.55cm³，共有四位有效数字，其中35.5是由量筒的刻度读出的，是准确的，而最后一位“5”则是估计出来的，是存在可疑成分的或欠准确的。

有效数字的位数可反映实验的精度或表示所用实验仪器的精度，所以不能随意多写或少写，若多写一位，则该数据不真实，不可靠；若少写一位，则损失了试验精度，试验结果同样不可靠，更是对高精仪器和时间的浪费。

小数点的位置不影响数据中有效数字的位数，例如120cm³，10.0cm³两个数据的准确度是相同的，它们有效数字的位数都为3位。

数字0在非0数字之间或末尾为有效数字，第一个非零数前的数字都不是有效数字。例如12cm³和12.00cm³并不等价，前者有效数字为两位，后者是四位有效数字。它们是由精密程度不同的仪器测量获得的。所以在记录测量数据时不能随便省略末位的0。

二、有效数字的运算

在试验数据的整理或者数据分析过程中总是要涉及有效数字的运算，有以下几种运算类型。

（1）加、减运算 加、减法运算后的有效数字，取到参与运算各数中最靠前出现可疑数的那一位。例如：12.6+8.46+0.008计算方法如下

计算结果应为21.1。

（2）乘、除运算 在乘除运算中，乘积和商的有效数位数，以参与运算各数中有效位数最少的为准。例如12.6 ×2.21的有效数字为27.8。

（3）乘方、开方运算 乘方、开方运算结果有效数字的位数应与其底数的相同。例如=2.4083，其有效数字为2.4，而3.4²=11.56，其有效数字为11.6。

（4）对数运算 对数的有效数字位数与其真数相同。例如ln2.84=1.0438，其有效值为1.04。(www.xing528.com)

（5）自然数不是测量值，不存在误差，故有效数字为无穷位。

（6）常数π、e等的位数可与参与运算的量中有效数字最少的位数相同或多取一位。

（7）一般试验中，有效数字取2～3位有效数字就可以满足试验对精确度的要求，只有试验对精确度要求特别高时才取4位有效数字。

从有效数字的运算可以看出，每一个中间数据对试验结果的影响程度是不同的，净度低的数据对结果的影响较大。所以在试验中应尽量选用精度一致的仪器和仪表，一两个高精度的仪器、仪表无助于提高整个实验的精度。

三、有效数字的修约规则

数值修约：对某一表示试验结果的数值（拟修约数）根据保留位数的要求，将多余的数字进行取舍，按照一定的规则，选取一个近似数（修约数）来代替原来的数，这一过程称为数值修约。有效数字的修约规则有以下几种。

（1）拟舍弃数字的最左一位小于5，则舍弃，即保留的个位数不变。例如53.4423修约到小数点后一位为53.4，将4.2348修约到小数点后两位为4.23。

（2）拟舍弃数字的最左一位大于或等于5，且其后跟有非0数值时，则进1，即保留的末位数加1，如将1578修约到保留两位有效数字为16 ×10²，将10.50修约到保留两位有效数字为11。

（3）拟舍弃数字的最左一位等于5，且其右无数字或皆为0时，若所保留的末位数字为奇数（1、3、5、7、9）则进1，为偶数（2、4、6、8、0）则舍弃。如：将13.50修约到保留两位有效数字为14，将18.50修约到保留两位有效数字为18。

需要注意的是，若有多位要舍去，不能从最后一位开始进行连续的取舍，而是以拟舍弃数字的最左一位数字作为取舍的标准。