科学实验中的真值与平均值

一、真值

真值（true value）是指某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值。真值在试验中一般是未知的。真值又是客观存在的，有时可以说真值又是已知的。例如，国家标准样品的标称值；国际上公认的计量值，如C12的原子量为12，绝对零度为-273.15℃，试验方案设计中的因素水平等；有些值可以当作真值看待，如高精仪器的测量值、多次试验的平均值等。

在计算误差时，通常用以下三种代入计算。

（1）理论真值 如平面三角形三内角之和恒为180°；某一物理量与本身之差恒为0，与本身之比恒为1；理论公式表达或理论设计值等。

（2）约定真值 计算单位制中的约定真值，国际单位制所定义的七个基本单位（长度、质量、时间、热力学温度、物质的量、电流、发光强度），根据国际计算大会的共同约定，国际上公认的计量值，如基本物理常数中的冰点绝对温度，T₀=273.15K，真空中的光速c=2.99792458 ×10⁸m/s等。

（3）标准器相对真值 高一级标准器的误差与低一级标准器或普通仪器的误差相比，为1/5（或者1/8～1/10）时，则可以认为前者是后者的相对真值，用比被校仪器高级的标准器的量值作为相对真值。例如，用1.0级、量程为2A的电流表测得某电路电流为1.80A，改用0.1级、量程为2A的电流表通测同样电流时为1.802A，则可将后者视为前者的相对增值，如国家标准样品的标称值、高精度仪器所测之值和多次试验值的平均值等。在科学实验中，真值就是指无系统误差的情况下，观测次数无限多时所求得的平均值。但是，实际测量总是有限的，故将有限次测量所得的平均值作为近似真值（或称为最可信赖值、置信区间）。

二、平均值

1.平均值

平均数（mean）是统计学中最常用的统计量，指资料中数据集中较多的中心位置。在科学试验中，虽然试验误差在所难免，但平均值可综合反映试验值在一定条件下的一般水平，所以经常将多次试验值的平均值作为真值的近似值。平均数的种类很多，统计学中常用的有算术平均数（Arithmetic mean）、中数（Median）、众数（Mode）、几何平均数（Geometric mean）等。具体如下所述。

（1）算术平均数 算术平均数是指观测值的总和除以观测值个数所得的商值，常用x-，y-等表示根据样本大小及分组情况采用直接法或加权法计算。

①直接法：主要适用于样本含量n＜30未经分组资料平均值的计算或等精度的试验、试验值服从正态分布（等精度的试验指试验人员、试验方法、试验场合、试验条件相同的试验）。

设有n个观测值：x₁，x₂，x₃，…，x_n；它们的算术平均数计算如下

式中 x_i——某个试验值。

②加权法：适用场合为对于样本含量n≥30且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上，采用加权法计算平均值，非等精度的实验、试验值服从正态分布。

对某一物理量用不同方法测定，由不同人测定，采用不同试验条件或测定结果由不同部分组成，在计算平均值时常对比比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。

设有n个实验值：x₁，x₂，x₃，…，x_n；w₁，w₂，w₃，…，w_n代表单个试验值对应的权，则它们的加权平均值计算公式为

式中 w_i——统计权重。

权重或权值的确定方法如下：

a.当试验次数很多时，以试验之x₁在测量中出现的频率n_i/n作为权数。

b.如果试验值是在同样的试验条件下测定但是源于不同的组，则以各组试验值出现的次数作为权数。(www.xing528.com)

c.加权平均值即为总算术平均值。

d.根据权与绝对误差的平方成反比来确定权数。

例如，权数的计算如下：

若x₁的绝对误差为0.1，x₂的绝对误差为0.02，则

【例4-1】某班一次技能考核成绩如下：得100分的2人，得90分的9人，得80分的8人，得70分的5人，得60分的3人，得50分的2人，计算这次全班考核的平均成绩。

分析由于数据重复出现，可考虑用加权平均数来进行计算。

解：用加权平均数公式得

算术平均数与每个观察值都有关系，能全面地反映整个观察值的平均数量水平和综合特性。因此，它的代表性是最强的，但它易受一些极端数据的影响。

（2）中数（Median）中数（又称中位数）是指观测值由小到大依次排列后居于中间位置的观测值，记为M_d，它从位置上描述资料的平均水平。总体而言，中数对于资料的代表性不如算术平均数；但是如果资料呈偏态分布，或资料的一段或两端无确切数值时，中数的代表性优于算术平均数。

计算中数时，将所有的观测值由小到大依次排列，若观测值的个数n为奇数则中数为

若观测值的个数n为偶数，则中数为

（3）众数（Mode）众数是指试验资料中出现次数最多的那个观测值，用M_o表示。由于间断性变数资料观测值易集中于某一个数值，故众数易于确定。连续性变数资料，由于观测值不易集中于某一数值，所以众数不易确定，可将连续性变数资料次数分布表中分布次数最多一组的组中值作为该样本的概约众数。

使用众数描述试验资料的平均水平，其代表性一般优于中数。因为中数只是从位置上说明资料的数量特征，涉及到的观测值数目太少，对于整个试验的全部资料的代表性有限。而众数在资料中出现的次数多、所占比例大、当然对资料有较高的代表性。

（4）几何平均数（geometric mean）几何平均数是指n个观测值连乘的积的n次方根值，用G表示其计算公式为

当资料中的观察值呈几何级数变化趋势，或计算平均增长率、平均比率等时用几何平均数较好。如计算中国改革开放30多年的年均GDP增长率等。

【例4-2】某果汁厂生产某果汁要经过3道连续作业的工序，3道工序合格率依次为95%，90%和98%，试求3道工序的平均合格率。

解：因为果汁的总合格率是各道工序合格率的连乘积，所以计算3道工序的平均合格率应采用几何平均值方法。

即3道工序的平均合格率为94.28%。