中国传统数学：记数符号与算筹法

考古发现，中国早在仰韶时期已有“Ⅰ、ⅠⅠ、ⅠⅠⅠ、ⅠⅠⅠⅠ”等记数符号，甲骨文中则有“一、二、三”等数字，同时从甲骨文中可以看出当时已遵循十进制记数法。中国古代算筹法，既是十进制，又是按其地位表示不同单位的，这就是所谓的“十进位值制”，计数时分为纵横二式，一般个位用纵式、十位用横式、百位用纵式、千位用横式，以此类推。遇到零时，就空出一个位。据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”古代的算学正是在筹算的基础上发展起来的。至于现代数学上通用的阿拉伯数码字大约是在13世纪传入中国，其逐渐使用则是清代的事，直到近代才在实际运算中基本取代了传统数码和中国数字。

从殷商甲骨文来看，那个时期已有奇数、偶数、倍数的概念，已经掌握了初步的运算技能。大约在春秋战国时期，“四则运算”趋于成熟。古代算学中的加法称为“并”，求出的和称“都数”；减法称“减”，相减结果称“差”或“余”；乘法称“乘”；除法称“除”，运算结果称“商”。“比例算法”是古代算学中的又一杰出成就，其中包括正比例、反比例、复比例、连比例等比较复杂的计算。古代算学家对分数的研究也是相当早的，殷代历法已确定一年为三百六十五又四分之一日，在春秋战国时的诸子文集中亦屡见分数的运用；到公元1世纪前后，分数的四则运算已有系统论述，并能熟练地运用最小公倍数和最大公约数；三国时刘徽对分数的性质从理论上作出明确的阐述，他不仅发现了分数通分和分数除法的简便规律，而且总结出分子、分母同乘或除以一个数时，其值不变的原理，他的研究成果从时间方面来讲在世界上遥遥领先。此外，古人在小数和近似计算方面也取得较大成就，如在三国时魏《景初历》中便初步提出“四舍五入”的原则：“半法以上排成一，不满半法废弃之。

古代算学历史悠久，著作丰富，可惜多已散失，流传至今且负有盛名的算书经唐初李淳风的整理注释，称之为《算经十书》，它们是：

周髀算经　这是一部天文历算书，在数学上的主要成就是介绍了勾股定理，阐明当时的盖天说和四分历法。有关算学内容的主要有分数乘除法，等差数列，一次内插法的应用，对任意正数的开平方法，公分母的求法及圆周长的求法和勾股定理。它的成书时间一般认为大约在公元前1、2世纪，唐初规定它为国子监明算科的教材之一。

九章算术　这是古代最重要的一部算学著作，全书共九章，246个例题。第一章“方田”（38题），讲分数四则和田亩面积计算；第二章“粟米”（46题），讲粮食交易的比例计算；第三章“衰分”（20题），讲按等级分配物资和摊派税收的比例分配计算；第四章“少广”（24题），内容为开平方、开立方；第五章“商功”（28题），内容为城、渠、仓等工程体积的立体形计算；第六章“均输”（28题），讲按人口、物价、路途等条件平均摊派税收和徭役的计算；第七章“盈不足”（20题），内容为盈亏类问题的解法；第八章“方程”（18题），讲一次方程组解法和正负数加减法；第九章“勾股”，内容为勾股定理的应用和简单的测量问题解法。《九章算术》首次阐述了负数及其加减运算法则，最早提到分数问题，首先记录了盈不足等问题，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。书中关于负数、分数计算，几何图形的面积体积计算，联立一次方程解法等都是具有世界意义的数学成就。该书流传广泛，影响深远，并有多种外文译本，其成书时间大约在公元1世纪下半叶。(https://www.xing528.com)

海岛算经　三国时魏国刘徽撰作，原作为《九章算术注》最后一卷，是一部关于测量数学的重要著作，它总结和发展了“二重差方法”，阐述了利用标杆进行二次、三次及四次测量目的物的高和远的计算方法，为地图学提供了数学基础。还进一步阐明了相似三角形的性质及其应用。，在世界上最早提出十进小数概念，并用十进小数来表示无理数的立方根；提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法；同时在几何学方面提出了“割圆术”，科学地求出了圆周率π≈3.14的结果。

孙子算经　该书分上中下三卷，上卷叙述了度量衡的单位和算筹记数的方法规则；中卷举例说明筹算分数法和开平方法，诸多内容涉及面积、体积、等比数列等应用题。下卷对后世的影响最为深远，例如第二十八题讲“物不知数”问题（即数论中一次同余式问题），系后来的“大衍求一术”的起源，被认为是中国数学史上最有创造性的成就之一，被西方数学史书称为“中国的剩余定理”；下卷第三十一题即著名的“鸡兔同笼”问题，后传至日本被改为“鹤龟算”。据清代学者戴震考证，《孙子算经》成书于汉明帝时。

此外，《算经十书》还有北魏时期张丘建所撰《张丘建算经》，书中所涉及的“百鸡问题”（不定方程问题）为世界数学史上著名的数学问题；唐王孝通所撰的《缉古算经》，系最早解三次方程的著作，利用开立方的方法（即求三次方程根）成功地解决了土木工程中经常遇到的上下宽狭不一、前后高低不同的坝体或沟渠施工中问题；又有南北朝时祖冲之所撰《缀术》，已失传，据《隋书·律历志》和沈括《梦溪笔谈》载，其内容涉及圆周率和球体体积的计算、内插法及三次方程的求解问题等。另有立于唐代官学的《夏阳侯算经》、北周甄鸾所撰的《五曹算经》和《五经算术》等。