土的本构模型的广义位势理论及应用-坐标变换法

3.2.1 全量形式的本构关系

主空间上的应力和应变的对应关系可以由试验测定，对应关系的数学拟合是一个数学问题，数学拟合的方法不外乎是经验函数法、样条函数法及数值方法等，因此，这个问题的解决，理论上无需引入物理假设。这样由主空间上的本构关系变换至六维空间上，就是一个数学问题，是本书研究的重点，这个问题可以用坐标变换的方法来解决，设3个主应力σ1，σ2，σ3的3个方向与某一直角坐标系的x、y、z3个坐标轴之间的方向余弦如下：

则六维空间上的应力分量和主应力的关系为：

其中 {σ}6×1=[σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx]T，{σi}3×1=[σ1，σ2，σ3]T

[Tσ]中的方向余弦可以用应力分量来表示，由应力张量的特征方程：

令σ=σ1，l=l1，m=l2，n=l3代入式（3.2.2），即可解出：

以相应的σ2，σ3取代以上各式的σ1，则得：

主应力σ1，σ2，σ3与各坐标应力分量的关系，可以通过解特征方程

所得到的3个根而得到，其中I1、I2、I3为用坐标应力分量表示的3个应力不变量。把式（3.1.3）代入式（3.2.1）：

式 中：{fi（ε）}3×1=[f1（ε），f2（ε），f3（ε）]T。f1，f2，f3分 别 为 式（3.1.3）中右边的3个函数，它们是3个主应变的函数，通过坐标变换的方法，3个主应变同理可以用6个坐标分量来表示，设3个主应变ε1，ε2，ε3的3个方向与3个坐标轴X，Y，Z的方向余弦为：

则有

其中{εi}3×1=[ε1 ε2 ε3]T，{ε}6×1=[εx εy εz γxy γyz γzx]T

这里[Tε]3×6中的各分量是各应变分量的函数，可以由以下应变张量的特征方程：

令ε=ε1及l=l1，m=l2，n=l3代入，即可解得l1，l2，l3，同理可以得到其他的方向余弦，具体的关系可以由（ε1，ε2，ε3）代替（σ1，σ2，σ3），由代替相应的[σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx]各元素代入式（3.2.3）、式（3.2.4）而得到，因而[Tε]是应变分量的函数，把式（3.2.7）的关系代入式（3.2.6）中的fi，则可以得到坐标应力分量与应变分量的关系，也即六维空间中的本构关系：

此6个本构方程即可以用于有限元等数值分析，这是假设在主空间上已得到试验结果上用数学方法直接建立的，其中在数学变换过程中未引入假设。因此，由三维主空间上的本构关系变为六维空间上的本构关系是一个数学上可以解决的问题，由此，本构理论的研究主要应是如何简便地建立主空间上的本构关系问题，从而可以把本构理论的研究集中在主空间上进行，如怎样简便测定应力集与应变集的对应关系。如若在由主空间的本构关系转换为六维空间的本构关系中引入了假设，则必须要对引入的假设进行验证。由于式（3.2.10）所示的本构方程中，方程两边均含有应力分量σij，用于有限元等数值分析时需要进行迭代逼近，应用不便，简化的方法是引入假设。显然，若假设3个主应力的3个方向和3个主应变的3个方向相同，则应力分量表示的坐标转换矩阵[Tσ]将与应变分量表示的坐标转换矩阵[Tε]相等，由此，把式（3.2.6）中的[Tσ]用[Tε]代替，则由以上的推导，即可以得到六维空间中的另一种本构方程：

此时，方程的右边仅是应变分量的函数，其用于有限元等数值分析时，由于右边不含应力分量，其比式（3.2.10）要方便，但式（3.2.11）引入了[Tσ]=[Tε]的假设。按以上同样的方法，也可以得到在应力空间中表示的本构方程：

3.2.2 增量式的本构关系

以上建立本构关系的思想方法，同样可以用于建立增量式的本构关系，首先建立主空间上的增量本构关系，然后把其转换为六维空间上可直接用于有限元等数值分析的本构关系。主空间上的增量本构关系如式（3.1.4）所示，其可以通过数学拟合得到的主空间上的全量本构关系的微分而得到，即由式（3.1.1）微分得：

其中{dσi}3×1=[dσ1，dσ2，dσ3]T，{dεi}=[dε1，dε2，dε3]T

则式（3.2.13）即为主空间上的增量本构关系。与上面一样，通过坐标转换的方法即可把主空间上的增量本构关系变为六维空间上的增量本构关系，坐标应力分量的增量{dσ}6×1与主应力{dσi}3×1的关系由坐标变换可得为：

其中{dσ}6×1=[dσx，dσy，dσz，dτxy，dτyz，dτzx]T，{dσi}3×1=[dσ1，dσ2，dσ3]T，转换矩阵[Tdσ]6×3为用应力的增量[dσ1，dσ2，dσ3]及[dσx，dσy，dσz，dτxy，dτyz，dτzx]代替应力全量[σ1，σ2，σ3]及[σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx]相应的量于[Tσ]6×3中而得到；同理，主应变分量的增量{dεi}3×1=[dε1，dε2，dε3]T和坐标应变分量的增量{dε}6×1=[dεx，dεy，dεz，dγxy，dγyz，dγzx]T的关系，也可由坐标转换的方法而得：

其中的转换矩阵[Tdε]可以用应变增量代替相应的应变全量于转换矩阵[Tε]而得到，把式（3.2.16）代入式（3.2.13），然后再代入式（3.2.15），则得：

上式即为六维空间中的增量本构关系，其可以用于有限元等数值分析，同时，在建立过程中由于它是直接由试验结果，用数学方法而得到的，其中数学变换并未引用假设，因此，由此方法得到的本构关系是完备的本构关系，而材料的力学特性则由主空间的试验结果来反映。

式（3.2.17）的增量本构关系是非线性的，且[Tdσ]中含有应力增量，实际计算应用是不方便的，要得到增量线性的本构关系，则需要引入假设。很显然，若假设全量主应力的3个方向、全量主应变的3个方向和增量主应力的3个方向、增量主应变的3个方向都相同，则有：

此时，用[Tε]取代式（3.2.17）中相应的[Tdσ]及[Tdε]，

则得：

即(www.xing528.com)

其中：

[D]6×6=[Tε]6×3[f]3×3[Tε]3×6

则式（3.2.19）或式（3.2.20）即是应力增量{dσ}和应变增量{dε}为线性关系的增量本构方程，此时[D]为应变全量的函数，因此，增量线性本构方程是引入了假设的。

式（3.2.20）用[Tε]代替[Tdσ]和[Tdε]，因而，可以说是应变空间表述的本构关系，若用[Tσ]代替式（3.2.20）中的[Tε]，则得到的是应力空间上的本构关系。

3.2.3 增量弹塑性本构关系

按传统理论把应变增量dε分解为弹性应变增量dεe和塑性应变增量dεp，按以上的思想，只要建立了主空间上的本构关系：

式中：表示主空间上的3个主量，则一般坐标空间下的本构关系即可以通过坐标变换关系而得到：

其中：

同理可得：

其中

以上各式中，{dεe}6×1，{dεp}6×1，{dσ}6×1表示一般坐标系下的6个分量。显然，[Tdεe]中含dεe，[Tdεp]中含dεp，[Tdσ]中含dσ，在实际计算应用中要进行迭代，为此，需要引入假设，如假设应力和应变（包括弹性和塑性部分）的增量和全量的主方向等均相同，则有：

此时，坐标转换矩阵全可换用全量表示，如[Tdεe]、[Tdεp][Tdε]等可用[Tσ]或[Tε]代替，这样得到的本构关系将是增量线性的关系，实际应用较方便。

根据式（3.2.23）和式（3.2.24），即可建立用于有限元等数值分析应用的格式。

如

则

显然，若有可能直接建立塑性应变增量{dεpi}3×1与{dεi}3×1的关系[105]，即：

则有：

即

其中：

相应的弹塑性本构方程则为：

即

[I]为单位矩阵，此时矩阵不用求逆，比式（3.2.26）更方便于应用。

3.2.4 小结

由上可见，材料宏观本构关系数学模型建立的实质是一个在试验成果基础上的数学问题，可以分两步来建立：一是试验测定主空间上的应力与应变的关系，并用数学拟合法表示其对应关系，二是把主空间上的本构关系转换为六维空间上的本构关系，这可以用坐标系变换的方法来解决，变换矩阵可以用应力分量或应变分量来表示，这是一个数学上可以解决的问题，这种理论和方法，可以普遍应用于建立各种工程材料的本构关系，这是一般的理论方法。而对于不同的工程材料，根据其试验或力学特性而引入的假设，将可以使模型简单化。如在主空间上引入一定的假设，则可以通过简单或较少的试验即可建立主空间上的本构关系，如通过常规三轴试验建立三维本构关系等。这种引入假设以使问题简单化是本构模型理论研究的一个重要内容。另外，以上的变换不采用假设时，得到的本构关系是隐含有待求量的，在实际应用计算时需要进行迭代，因而不够方便，其关键是坐标转换矩阵，当采用主量方向一致性的假设后，则可以克服这一缺点，对这一假设性是否合理，有待于进一步的验证，但实质上，目前的本构理论都采用了这一假设的，否则，从以上的结果可见，都将隐含有待求量这一缺点。

这种坐标直接变换的方法实际应用仍是较复杂的，关键是坐标变换矩阵的公式较复杂，虽然前人已有应用这种方法来建立的本构模型，但被工程实际接受的并不多，因此，这虽是一种很直接的数学方法，但还需进一步寻求更为简便的方法。这里所提供的是一种具有普遍性的数学方法。