土的本构模型的广义位势理论及应用

非线性弹性理论是根据张量对称原理或能量假设而建立的，根据假设条件的不同，通常有柯西（Cauchy）弹性理论，格林（Green）弹性理论和次弹性（Hypoelastic）理论。

2.3.1 柯西（Cauchy）弹性理论

柯西弹性理论假设应力与应变具有一一对应关系，则其一般的张量函数关系为：

对各向同性材料，Fij可表示为εkl的多项式函数，再由张量分析的Cayley-Hamilton理论，式（2.3.1）可以表示为εkl的不高于二次幂的函数，即简化为：

或反之有：

式中：A0、A1、A2为应变张量不变量的函数；B0、B1、B2为应力张量不变量的函数。当A2=0，A1为常数，A0适当取值则可得到广义虎克定律。

对式（2.3.2）或式（2.3.3）微分可得其增量形式，文献[42]给出其二阶柯西增量本构方程为：

或写成矩阵形式：

式中：[Dt]为非对称的切线刚度矩阵，由应变状态εij和材料常数K、G、a2、a3、a5和a6确定；I′1为第一应变不变量。

依据这一理论基础来建立本构模型的情况较少，其缺点是刚度矩阵不对称而参数又缺乏明确的物理意义，且要用多种较复杂的应力路径试验来确定，故应用不广。

2.3.2 格林（Green）弹性理论

格林理论又称超弹性（Hyperelastic）理论，其假定物体变形后所存储的能量密度可由应变能密度函数W（εij）表示，这样，外力所对应的应力σij下弹性体产生应变增量δεij，则外力所做功为：

物体内部由于外力作用后产生的应变能增量则为：

由功能原理及式（2.3.6）和式（2.3.7）可得：(www.xing528.com)

反之，设余能函数为Ω（σij），则同样可有：

当W或Ω具有二阶导数时，对式（2.3.8）或式（2.3.9）微分即可得其增量形式

或

由此可见，超弹性理论是从功能关系角度上建立的。从功能的定义式（2.3.6）及能量函数确定了各应力或应变分量的比例关系。增量切线刚度矩阵Hijkl和H′ijkl为对称矩阵。具体用于建模时，假定Ω为应力不变量的函数，可采用应力σij的低价函数（如二阶或三阶函数），代入式（2.3.9）得到含一系列待定系数的εij～σij具体表达式，然后由一些特殊试验，如在主空间或对应力状态或应力路径较简单的情况进行试验，由试验结果确定待定系数[66]。

2.3.3 次弹性（Hypoelastic）理论

以上的柯西弹性或格林弹性理论是假定应力状态与应变状态一一对应的，即存在全量函数关系，不能反映加荷路径的影响，为此，在次弹性模型中，假定应力增量dσij不但与应变εij有关，还与应变增量dεij有关，它的一般函数关系为：

或

应用各向同性条件及Cayley-Hamilton原理，则可表示为：

式中：α0，α1，…，α8是dεij及σkl的不变量的函数。

对各向同性、与时间无关材料，最后可写成增量线性的形式

Dijkl中所含的系数可由主空间中不同应力路径的简单试验确定。

2.3.4 几种非线性弹性理论之间的关系及小结

以上3种理论中，柯西理论是直接假设应力与应变状态具有一一对应关系，然后通过张量函数和Cayley-Hamilton原理而得到各分量的关系的，格林理论则通过能量原理而得到的，次弹性理论也是像柯西理论那样建立的，只是假定为增量形式，且应力增量还与应变增量及应力全量均有关，3种理论是从不同假设出发而得到的。各种理论中，文献[42]通过数学论证证明，次弹性理论满足可积性条件时，通过积分即可退化为柯西弹性理论，而格林理论则是当材料存在应力势函数时柯西理论的一种特殊情况，因此，在一定条件下，格林弹性理论可以看作为柯西理论的特殊情况，而柯西理论也可以看作为次弹性理论的特殊情况，所以，理论上次弹性理论是更一般一些，其可以表达非线性、剪胀性及应力路径的影响和应力引起的各向异性等。但由于建立于非线性弹性理论基础上的模型的参数较多，需要较多的不同路径的试验，且参数缺乏明确的物理意义，故而在各种理论中，是应用得较少的理论。