土本构模型的增量非线性弹性模型

这种模型认为土体变形虽然是非线性的，但在微小增量时可看作是线性的，且服从增量线性的各向同性广义虎克定律：

此时系数Dijkl可用4个参数中的2个表示，即弹性模量E、泊松比μ或剪切模量G及体积模量K，实际上在上述4个参数中只要确定任意2个参数即可以，通常分为E-μ和K-G两种。展开后用E、μ或K、G表示为：

其中[D]为弹性矩阵。

或

这类模型中最为成功而又应用最广的是邓肯—张（邓肯—张）双曲线非线性模型。

2.2.1 E—μ模型

2.2.1.1 邓肯—张E—μ模型

Kondner较早发现在σ3=const.的常规三轴试验中，不同σ3下土体应力q=σ1-σ3与轴向应变ε1具有较好的双曲线关系：

由增量广义虎克定律得到：

在σ2=σ3=const.条件下，dσ2=dσ3=0，则由式（2.2.3）得：

同样条件下得：

这样，在σ2=σ3=const.条件下由式（2.2.2）、式（2.2.4）、式（2.2.5）可得到：

通过常规三轴试验曲线及Mohr-Coulomb准则确定a、b值后即得到：

式中：c，φ为土体的黏聚力和内摩擦角，它们和K，n，Rf可由常规三轴试验曲线得到，而切线泊松比则由定义：

通过假定不同σ3下ε1～ε3符合双曲线方程关系而得到，这样，在不同应力状态（σ1-σ3，σ3）下，由式（2.2.6）、式（2.2.7）确定相应的Et、μt，将其代入式（2.2.1）而得到该状态下可用于数值分析的增量本构关系。

由于以广义虎克定律为基础的模型非常简单，参数易确定，并且物理意义明确，理论基础也为人们熟悉和易于掌握，因而在实际工程中得到大量应用，是目前应用最广的模型，尤其是邓肯—张双曲线E-μ模型，已为工程界所广泛应用。

2.2.1.2 其他的E—μ模型

人们根据对土体特性的认识，在该模型基础上又提出各种修正或依据广义虎克定律提出不同的具体模型，改进主要在以下几方面。

（1）对q～ε1曲线的拟合函数。邓肯—张模型中采用的是Kondner建议的双曲线函数来表示土的应力应变关系曲线，刘祖德等[22]建议用指数函数来描述应力应变关系。沈珠江[56]还建议了驼峰形的三次曲线拟合，以便能反映软化段的特点，曾国熙[31]、王年香等[53]建议了归一化方法。由于土体的复杂性，经验函数总有一定的局限性，因此，Desai[50]较早建议了用样条函数表示试验曲线，其后，骆筱菊[51]也应用了样条函数方法整理试验曲线，陆培炎等[32]则建议在q～ε1和q～σ3两方向都用样条函数来表示的方法，从而形成了一个空间曲面，也有建议用数据[55]或数值方法[54]来表示的设想。随着计算机技术的发展，数值方法是一个值得发展的方向，在这方面估计以后会有一定的发展。

（2）对μ的确定。邓肯—张模型中假定ε3～ε1的关系为双曲线，Daniel建议把μt表示成双折线的形式[47]，司洪洋[48，49]对土石坝坝壳料的试验也表明，μt较为符合双线性模式，Duncan后来也提出用体积模量B代替泊松比的模型，通常称为E-B模型。对剪胀情况，εv～ε1的曲线不能直接用双曲线来表示，程展林等[59]对有剪胀性的εv～ε1关系用旋转坐标后的双曲线表示，取得较满意的结果，沈珠江则建议了用抛物线函数来表示[11，12]。(www.xing528.com)

（3）对已建模型的改进。袁建新等[46]认为邓肯模型中当σ3较小或接近于0时，由公式：

给出的初始切线模量不符合实际，因而提出了用割线模量法来计算双曲线的切线模量Et。刘祖德等[22]认为应力路径对应力应变关系有影响，因而，对筑坝过程建议用等应力比（Δσ1/Δσ3）的试验路径来确定参数，并建议了一个指数模型。李树勤[64]对砂土进行了σ3=const.的平面应变试验，与σ3=const.的常规三轴试验的结果比较，应力应变曲线要显得较硬一些，因而，建议用改变内摩擦角φ的方法来改进模型，即在常规三轴试验的结果上把φ值提高3°～5°而可以用于平面应变问题。谢晓华、沈珠江[65]则依据全微分的概念，考虑了Δσ3变化对切线模量的影响。为了在E-μ模型基础上考虑土的剪胀性，有人建议了三参数模型[56，57]，但由此会造成刚度矩阵不对称或需用迭代法求解，增加了计算上的复杂性。

2.2.2 K—G模型

广义虎克定律式（2.2.1）的系数Dijkel可以像上面那样用E、μ两参数来表示，也可以用K、G两参数来表示，由增量广义虎克定律可以得到：

式中：p为八面体法向应力；q为八面体剪应力；εv为与p相对应的体应变；为与q相对应的八面体剪应变；dp、dq、dεv、分别为相应的增量形式。

这样可以通过试验确定K、G两个参数，由式（2.2.1）而得到可用于数值分析的本构方程。确定K、G的方法通常有两大类方法：一类是非耦合的，另一类是耦合的。

2.2.2.1 非耦合模型

一般分别进行P=const.和q=const.的三轴试验，用数学函数拟合试验结果，得到函数：

由以上两式分别求偏导数并注意p=const.时dp=0和q=const.时dq=0，则得：

由K、G的定义可得：

εv（p，q）（p，q）可根据具体土体的试验曲线选用经验函数进行拟合，或也可用样条函数拟合，属于这类模型的有Domaschuk[60]、Naloy[61]、成都科大屈智炯等[19]、Battlino和Majes[62]所建立的模型。高莲士等[21]还用比例加载（η=p/q=const.）试验确定εv～p，～q关系，考虑到η=const.，dη=0，这样，采用全微分可以忽略dη的影响而得到解耦的K—G模型。

2.2.2.2 耦合模型

通过三向等固结，或η=q/p=常数或p=常数的三轴试验得到函数：

然后取全微分得：

令则上式可写成如下形式：

沈珠江[58]、阎明礼[20]进行了这方面的工作，以后国内不少人也开展这方面的研究[59，63]。耦合模型由于涉及到dq/dεv或dp/的增量比值或导致刚度矩阵不对称，实际应用不够方便，故用于有限元计算的实例较少。

2.2.3 小结

以增量广义虎克定律为理论基础所建立的模型较为简单，试验参数测定较方便，尤其是以邓肯—张模型为代表，在岩土工程中获得了最为广泛的应用，其突出优点是反映了土体的最突出的特点——非线性，其主要缺点是不能反映土的剪胀性。其后发展的K—G模型及一些改进试图克服其理论基础的一些缺陷，但带来的结果一方面是确定参数的试验变得复杂，另一方面也使得程序计算复杂，如为考虑剪胀性，需要计算非对称刚度矩阵，或要进行迭代计算，因而，虽然在理论上丰富了模型，但真正用于数值计算的却不多。