两曲面体的相贯线在一般情况下为封闭的空间曲线,特殊情况下也可以是平面曲线或直线。相贯线是两曲面体表面的共有线,相贯线上的点是两曲面体表面的共有点。因此,求两曲面体相贯线的作图实质为求两表面共有点的问题。相贯线的形状不仅取决于相交两曲面体的几何形状,而且与它们的相对位置有关。求共有点的方法有表面定点法和辅助平面法。
1.表面定点法
表面定点法是指当相交曲面体表面的某一投影有积聚性时,则相贯线在相应投影面上的投影重合在该积聚投影上,这时就可用曲面体表面定点的方法求得相贯线上的点。
【例3-7】 如图3-29所示,两个圆柱正交相贯,求作其相贯线。
解 两圆柱的轴线垂直相交（正交）,其相贯线为一封闭的,且前后、左右均对称的空间曲线。由于大圆柱面的轴线垂直于W面,所以圆柱的侧面投影积聚为圆,相贯线的侧面投影重合在小圆柱穿进处的一段圆弧上,且左半和右半相贯线的侧面投影互相重合；同理,小圆柱面的轴线垂直于H面,圆柱的水平投影积聚为圆,相贯线的水平投影与此圆重合。因此,根据相贯线的水平投影和侧面投影,即可求作它的正面投影。
作图步骤（图3-29）如下。
图3-29 利用积聚性求相贯线
（1）求特殊点。从相贯线的水平投影上可明显看出,点A、B、C、D是相贯线上的四个特殊点,两圆柱正面投影的轮廓线的交点A、B是相贯线上的最高且最左、最右点；点C、D是相贯线上的最低且最前、最后点,也是小圆柱侧面轮廓线上的点。可先确定出点A、B、C、D的水平投影a、b、c、d,再在相贯线的侧面投影上相应地求出a″、b″、c″、d″,然后根据两面投影求出其正面投影a′、b′、c′、d′。
（2）求一般点。由于特殊点之间间隔大,需要在特殊点之间补充作出一般点,以便较准确地画出相贯线。在相贯线的水平投影上特殊点中间取一般点1、2、3、4,然后再求出其侧面投影1″、2″、3″、4″,根据投影规律可求出其正面投影1′、2′、3′、4′。
（3）判别可见性后依次连接各点。由于相贯线前后对称,前半相贯线在两个圆柱的可见表面上,所以其正面投影可见和不可见投影相重合。因此,相贯线的正面投影可按相贯线水平投影所显示的诸点的顺序,光滑连接前面可见部分各点的投影即可。
不仅两个圆柱面的外表面相交时会产生相贯线,圆柱面的外表面与内表面相贯、两圆柱面的内表面相交时也会产生相贯线,如图3-30所示。这三种情况的相贯线的形状和作图方法都是相同的。
图3-30 两圆柱相贯的三种形式
两正交圆柱直径变化时,对相贯线的形状产生影响。从图3-31可以看出,当水平圆柱的直径小于直立圆柱时,相贯线呈现在左、右两端[图3-31（a）]；G当两圆柱直径逐渐接近时,两端的相贯线也逐渐接近[图3-31（b）]；当两圆柱直径相等时,相贯线为两条平面曲线（椭圆）,其正面投影积聚为两相交直线[图3-31（c）]；当水平圆柱的直径大于直立圆柱时,相贯线呈现在上、下两端[图3-31（d）]；随着水平圆柱直径的继续增大,相贯线逐渐远离[图3-31（e）]。
图3-31 直径变化对相贯线的影响
2.辅助平面法
辅助平面法是利用三面共点原理求两曲面体共有点的一种方法,通过作辅助面,使其与两个曲面体的表面相交,所得两条截交线的交点,即为两曲面体表面共有点。为了便于作图,采用辅助平面求相贯线上的点时,所选辅助平面与旋转体相交产生的交线应为直线或圆,且辅助平面应为投影面的平行面。这时,在辅助平面所平行的投影面上截交线的投影反映实形。
当相交的两回转体表面之一无积聚性（或均无积聚性）时,可采用辅助平面求相贯线的方法。
（1）辅助平面法的作图原理
辅助平面法求相贯线的实质是求三面共点。假想用一平面在适当位置截切两相交回转体,分别求出辅助平面与两回转体的截交线,两截交线的交点既是相贯线上的点,也是两回转体表面及辅助平面上的点。利用此方法求出两回转体表面上的若干共有点,从而画出相贯线的投影。
（2）辅助平面的选择原则使辅助平面与两回转体表面截交线的投影简单易画,例如直线或圆。(www.xing528.com)
【例3-8】 如图3-32所示,求圆柱与圆锥正交的相贯线投影。
图3-32 圆柱与圆锥轴线垂直相交
解 圆柱与圆锥轴线垂直相交,相贯线为一条封闭的空间曲线,并且前后对称。由于圆柱面的侧面投影积聚为圆,所以相贯线的侧面投影也重合于该圆周上,故只需求出相贯线的正面投影和侧面投影。
从两形体相交的位置来看,辅助平面可采用一系列与圆锥轴线垂直的水平面,它与圆锥的交线是圆,与圆柱的交线是矩形,圆和直线都简单易画。
作图步骤如下。
（1）求特殊点[图3-32（a）]。
1）两回转体正面投影轮廓线的交点A、B可直接求得。它们是相贯线的最高点和最低点,B点也是最左点。
2）点C、D是圆柱水平投影轮廓线上的点,可利用辅助平面求得。过圆柱轴线作辅助水平面P1,P1与圆柱、圆锥分别相交,其截交线的交点C、D是相贯线的最前点和最后点,由水平投影c、d和侧面投影c″、d″可求得正面投影c′、d′。
3）相贯线正面投影上的最右点M、N,位于圆锥面的两条素线SⅠ、SⅡ上,这两条素线的侧面投影与圆柱面侧面投影的圆相切,根据这一点即可作出m″、n″,再根据y、y1,在s1、s2上可求得水平投影m、n,最后根据点的投影规律即可得到m′、n′。
（2）求一般点。在特殊点之间的适当位置作一系列水平辅助平面,如P2、P3等。在侧投影面上,由P″2、P″3与圆的交点定出一般点E、F、G、H的侧面投影e″、f″、g″、h″。在水平投影面上,平面P2、P3与圆锥、圆柱面的截交线为圆和两条直线,它们的交点是E、F、G、H的水平投影e、f、g、h,由此可求出e′、f′、g′、h′,如图3-32（b）所示。
（3）判别可见性并依次光滑连接各点。由于相贯体前后对称,正面投影前后重合,只需按顺序用粗实线光滑连接前面可见部分各点的投影；相贯线的水平投影以C、D为分界点,分界点的上部分可见,用粗实线依次光滑连接,分界点的下部分不可见,用虚线光滑连接。
（4）整理轮廓线。在水平投影中,圆柱的水平轮廓线应画到相贯线c、d两点为止；圆锥底圆被圆柱遮挡部分也应补画成虚线,结果如图3-32（c）所示。
3.相贯线的特殊情况
在一般情况下,两回转体的相贯线应为封闭的空间曲线；但在某些特殊情况下,也可能是平面曲线或直线段。下面简单介绍相贯线为平面曲线比较常见的特殊情况。
当两回转体轴线相交,且平行于同一投影面并公切于一球时,其相贯线为平面曲线——椭圆,在与两回转体轴线平行的投影面上,该椭圆的投影积聚成直线。
图3-33中的圆柱与圆柱、圆柱与圆锥,它们的轴线都分别相交,且都平行于V面,并公切于一个球,因此它们的相贯线是垂直于V面的椭圆,只要连接它们的正面投影轮廓线的交点,得两条相交直线,即为相贯线（两个椭圆）的正面投影。
4.相贯线的简化画法
正交相贯两圆柱相贯线的投影可用简化画法绘制,即用圆弧代替曲线,如图3-34所示。以大圆柱半径为半径（R＝D/2）,在小圆柱的轴线上找到过1′、2′的该圆弧的圆心,即可作出该圆弧。
图3-33 公切于同一球面的两立体相贯
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