两平面垂直的几何条件是：如果一个平面包含另一个平面的一条垂线,则两个平面就相互垂直。
【例2-25】 如图2-68（a）所示,已知平面△ABC和点P的两面投影,求作过点P且与△ABC相垂直的平面的两面投影。
图2-68 过点P作△ABC的垂直面
解 作图过程如图2-68（b）所示。
（1）过点P作出一条△ABC的垂直线PQ,标注出p′、p、q′、q。
（2）任意选一点r′、r,连接p′r′、q′r′和pr、qr,因PQ⊥△ABC,又由作图知,PQ位于平面△PQR上,故△p′q′r′、△pqr即为所求平面的投影。
综合上述,可得出以下结论：
与某一投影面垂直面相垂直的平面,一定包含该投影面垂直面的垂线,可以是一般位置平面,也可以是这个投影面的垂直面或平行面；与某一投影面平行面相垂直的平面,一定是这个投影面的垂直面,并可以是其他两个投影面的平行面。
【例2-26】 如图2-69（a）所示,已知A点和直线MN的投影,以及正垂面P的V面投影PV,试过点A作一平面,使该平面与直线MN相平行,与平面P相垂直。
图2-69 特殊位置的平面与平面垂直
解 按直线与平面相平行以及两平面相垂直的几何条件,只要过A点作任意长度的直线AB∥MN,作任意长度的直线AC⊥平面P,则相交两直线AB和AC确定的平面,即为所求。由于平面P是正垂面,所以AC必为正平线。作图过程如图2-69（b）所示。
（1）作a′b′∥m′n′,作ab∥mn。
（2）作a′c′⊥PV,作ac∥OX轴。
（3）AB和AC所确定的平面ABC,即为所求。(www.xing528.com)
当两个平面都是同一投影面的垂直面时,它们有积聚性的同面投影也互相垂直。如图2-70所示,两个矩形铅垂面PQMN和PQRS互相垂直,它们的有积聚性的H面投影pqmn⊥pqrs。
图2-70 两平面相垂直的特殊情况
【例2-27】 如图2-71（b）所示,已知两直线AB、CD投影,求它们的公垂线KL,并求最短距离。
解 如图2-71（a）所示,假设KL已经作出,它与AB、CD两直线均成正交,所以能够过CD线作出一个平面P垂直于KL直线。因为AB⊥KL,而KL⊥P,所以AB∥P。于是,为了作出KL线的位置,应作出AB在P面上的投影MN。MN与CD的交点为K,过点K向AB或P面作垂线,交AB于点L,KL即为所求。作图过程如图2-71（c）所示。
图2-71 求公垂线与最短距离
（1）过d′作d′e′∥a′b′,过d作de∥ab,故△CDE∥AB。
（2）过点D在△CDE平面内作一正平线DⅠ和一水平线DⅡ。
（3）过a′作d′1′的垂线,过a作d2的垂线,得△CDE的垂线AG（ag,a′g′）。
（4）求直线AG与ACDE的交点M（m,m′）。
（5）过m作mk∥ab,过m′作m′k′∥a′b′,MK与CD交于K。
（6）过k′作k′l′∥m′a′,与a′b′交得l′,过k作kl∥ma,与ab交得l,kl、k′l′即为公垂线KL的投影。
（7）利用直角三角形法求出KL的真实长度,标在投影图上。
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