两平面相交于一条直线,称为交线。平面与平面相交的问题,主要是求交线和判别可见性的问题。两平面的交线是两平面所共有的直线,一般通过求出交线的两端点来连得交线。交线求出后,在判别投影可见性时必须注意：可见性是相对的,有遮挡就有被遮挡；可见性只存在于两平面图形投影重叠部分,对两平面图形投影不重叠部分不需判别,都是可见的。
1.两特殊位置平面相交
垂直于同一个投影面的两个平面的交线,必为该投影面的垂直线,两平面的积聚投影的交点就是该垂直线的积聚投影。如图2-60（a）所示,平面P与平面Q都垂直于投影面H,则两平面P和Q的交线MN必垂直于投影面H,而且P和Q的H面投影PH和QH的交点必为MN的积聚投影mn。
图2-60 两投影面垂直面相交
【例2-20】 求作如图2-60（b）所示两投影面垂直面P和△ABC的交点MN,并表明可见性。
解 （1）在abc与PH的交点处标出mn,即为交线MN的H面投影。
（2）过mn作OX轴的垂线,得交点m′n′,连接m′n′,即为所求交线MN的V面投影。
（3）判别可见性。在mn的左方,PH位于abmn之前,故在V面投影中p′在m′n′左侧为可见,右侧与△ABC重叠的部分必为不可见,作图结果如图2-60（b）所示。
2.两个平面中有一个平面处于特殊位置时相交
两平面相交,只要其中有一个平面对投影面处于特殊位置,就可直接用投影的积聚性求作交线。在两平面都没有积聚性的同面投影重合处,可由投影图直接看出投影的可见性,而交线的投影就是可见和不可见的分界线。
【例2-21】 如图2-61（a）所示,求作一般位置的平面△ABC与正垂面△DEF的交线MN,并表明可见性。
解 作图过程如图2-61（b）所示。
（1）在b′c′、a′c′与有积聚性的同面投影d′e′f′的交点处,分别标出m′、n′,由m′、n′分别作OX轴的垂线,与bc交得m,与ac交得n。
（2）连接mn,即为所求交线MN的H面投影；MN的V面投影,积聚在d′e′f′上。
（3）判别可见性。在V面投影中可直接看出,a′b′m′n′位于△d′e′f′的上方,故应可见,c′m′n′位于△d′e′f′的下方,故在H面投影中与△def的重合部分不可见。
（4）在已知影图上画出适当的线型（本题及下面其他题目将不再画出虚线,亦可表示不可见）。
图2-61 一般位置平面与投影面垂直面相交
【例2-22】 如图2-62（a）所示,求作一般位置的平面△ABC与正垂面△DEF的交线MN,并表明可见性。
解 两平面的交线是两平面的公有线,因正垂面的V面投影具有积聚性,故交线MN的V面投影必积聚在正垂面的V面投影上。由图2-62可知,一般位置的平面△ABC的AB边与△DEF必产生一个交点,即为交线mn的一个端点m,现求另一端点N的投影。
由作图知,△ABC的BC边与△DEF并没有产生实际的交点,也就是说交线MN的另一端点N只能是由△DEF的某一条边与△ABC相交产生的。为此,需要分别分析DE、EF、DF这三条边与△ABC的相交情况,最终能够确定N是由EF边与△ABC相交产生的。在求出M、N后,连接其H面投影mn,最后按照可见性的判别方法进行可见性分析,作图过程如图2-62（b）所示。
例2-21中的两个平面,其中一个平面图形完全穿过另一个平面图形,交线MN的两个端点M、N落在同一平面△ABC的两条边BC和AC上,这种情况称为全交；例2-22中的两个平面,彼此都只有一部分相交,交线MN的两个端点M、N分别落在平面△ABC的AB边和平面△DEF的EF边上,这种情况称为半交。
图2-62 一般位置平面与投影面垂直面相交
特殊位置平面与一般位置平面的相交,可以用来求一般位置直线与一般位置平面的交点,如图2-63所示,直线DE和△ABC均为一般位置,直线DE与△ABC相交,必有一个交点K,现设交点K已求出,则过交点K在△ABC上可作出无数条直线,其中每一条直线（如ⅠⅡ线）与DE相交可组成一个平面,这样可作无数个平面。其中必有一个平面是铅垂面或正垂面或侧垂面,所作平面称为过DE直线的辅助平面P,ⅠⅡ线即为P面与△ABC的交线,ⅠⅡ线与DE的交点也就是直线DE与△ABC的交点。这种求直线与平面的交点的方法,称为辅助垂直面法。
图2-63 利用辅助垂直面求一般位置直线与平面的交点
作图过程如下。(www.xing528.com)
（1）过DE作铅垂面P。在投影图上将de标记为PH。
（2）求P与△ABC的交线ⅠⅡ。PH与ab交于1,与ac交于2,12即为交线的H面投影,由12求出其V面投影1′2′。
（3）求直线DE与交线ⅠⅡ的交点。1′2′与d′e′相交于k′,由k′在de上求出k,k、k′即为所求交点K的两面投影。
（4）判别可见性。作图结果如图2-63（b）所示。
可以看出,辅助垂直面法的作图过程完全相同于辅助直线法,仅是设想的不同而已。
3.两个一般位置平面相交
求两个一般位置平面的交线,实质上是分别求某一平面内的两条边线与另一平面的两个交点,连接这两个交点即是两平面的交线。由于两平面的投影都没有积聚性,在解题前,可先观察出投影图上没有重叠的平面图形边线,它们不可能与另一平面有实际的交点,故不必求取这种边线对另一平面的交点,如图2-64（a）所示中的边线AC、DG、EF。这种方法称为线面交点观察法。
图2-64 两个一般位置平面相交的求解
【例2-23】 如图2-64（a）所示,求作平面△ABC与四边形DEFG的交线MN的两面投影,并表明可见性。
解 作图过程如下。
（1）经反复观察和试求,确定四边形DEFG的两边ED、FG与△ABC平面的交点即为所求交线MN的两端点。
（2）利用辅助直线法分别求出边线ED与△ABC交点的投影m、m′,边线FG与△ABC交点的投影n、n′。
（3）连接mn和m′n′,即为所求。
（4）判别可见性。可利用前述的判别方法来判别出两平面重影部分的可见性,结果如图2-64（b）所示。
实际上两平面相交时,每一平面上的每一边对另一平面都会有交点,因此从理论上说,作图时可选择任意一边对另一平面求交点,求得两个交点K、L,连接K、L,可求得交线的方向,然后取其在两面投影重叠部分内的一段即可得MN,如图2-65所示。但如果K、L落在图形外较远处,作图就不是很方便了。
图2-65 求解两个一般位置平面交线的一般方法
【例2-24】 如图2-66（a）所示,求作△ABC和△DEF的交线MN,并表明可见性。
图2-66 两个一般位置平面相交的求解图
解 经观察可发现,两个平面△ABC和△DEF的所有边线在投影图中均不可能与另一平面有实际的交点,线面交点观察法在本题中已不宜应用。为此,可取两个投影面平行面P和Q作为辅助平面,利用三面共点原理,如图2-67所示,分别求出它们与两个已知平面的辅助交线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ、ⅦⅧ,每个辅助平面上的两条辅助交线的交点,即为所求交线MN上的一点,连接两个交点,即为所求交线,这种方法称为辅助平行面法。作图过程如图2-66（b）所示。
（1）作一水平面P,截△ABC和△DEF得交线ⅠⅡ和ⅤⅥ。
（2）由12和56的交点定出m,过m作OX轴的垂线,与PV交得m′。
（3）作一水平面Q,得另一交点N（n,n′）。
（4）连接m′n′和mn,即为所求交线的投影。
图2-67 空间示意图
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