直线与平面相交于一点,该点称为交点。直线与平面的相交问题,主要是求交点和判别可见性的问题。直线与平面的交点,既在直线上,又在平面上,是直线和平面的共有点,交点又位于平面上通过该交点的直线上。
1.直线与平面中至少有一个元素垂直于投影面时相交
直线与平面相交,只要其中有一个元素垂直于投影面,就可直接用投影的积聚性求作交点。在直线与平面都没有积聚性的同面投影处,可由交叉线重影点来确定或由投影图直接看出直线投影的可见性,而交点的投影就是可见和不可见的分界点。
为了表明投影的可见性,一般在投影图中,可见线段的投影画成粗实线,不可见线段的投影画成中虚线（或细虚线）,作图过程中产生的线段的投影或其他图线,都画成细实线。
【例2-13】 求作正垂线AB与一般位置平面CDEF的交点K,并表明投影的可见性,已知条件如图2-50（a）所示。
图2-50 投影面垂直线与一般位置平面相交
解 （1）分析：因正垂线AB在V面上的投影有积聚性,AB上各点的V面投影都积聚在AB的积聚投影a′b′上,故AB与CDEF的交点K的V面投影k′必定积聚在a′b′上,又因为K点也位于平面上,K点必在平面内过K点的任意一直线DM上,所以可利用辅助线法求出K点的H面投影k。
（2）作图过程如图2-50（b）所示。
1）在a′b′处标出K点的V面投影k′,连接d′和k′,延长d′k′,与c′f′交得m′。
2）由m′作OX轴的垂线,与cf交得m′,连d和m,dm与ab交得k,即为交点K的H面投影。
3）在ab与cd的交点处,标注出AB与CD对H面的重影点Ⅰ与Ⅱ的H面投影1（2）,由1（2）作OX轴的垂线,与c′d′交得2′,1′与a′b′重合,经观察,点Ⅰ位于点Ⅱ的上方,于是a′b′上的1′可见,c′d′上的2′不可见,从而1k画成粗实线,以k为分界点,a的另一段必为不可见,画成虚线。
【例2-14】 如图2-51（a）所示,求作一般位置直线MN与铅垂的△ABC的交点K,并表明投影的可见性。
解 （1）分析：因△ABC平面在V面上的投影有积聚性,△ABC上各点的V面投影都积聚在△ABC的积聚投影b′a′c′上,故MN与△ABC的交点K的V面投影k′必定积聚在b′a′c′上,又因为K点也位于直线MN上,所以m′n′与b′a′c′的交点即为k′,再由k′作OX轴的垂线,与mn交得k。
图2-51 投影面垂直面与直线一般位置相交
（2）作图过程如图2-51（b）所示。(www.xing528.com)
1）在m′n′与b′a′c′的相交处,标注出交点K的V面投影k′,由k′作OX轴的垂线,与mn交得点K的H面投影k。
2）在V面投影中可直接看出直线MN：交点K左侧的一段,位于△ABC之下,故mk上与平面重合的那一段为不可见,画成虚线,另一段则可见,画成粗实线。
2.直线与平面都不垂直于投影面时相交
图2-52 直线与平面都不垂直于投影面时相交
当直线与平面都不垂直于投影面时,不能用前面介绍的方法直接求出交点,我们可以通过作辅助直线的方法来求。如图2-52所示,有一直线MN和一般位置平面△ABC,为求直线MN和平面△ABC的交点,可先在平面ABC上求一条直线ⅠⅡ,使该直线的H面投影与MN的H面投影重合,然后求出直线ⅠⅡ的V面投影1′（2′）,1′（2′）与m′n′的交点k′即为所求。这种求直线与平面的交点的方法,称为辅助直线法。
【例2-15】 如图2-53（a）所示,求作直线MN和平面△ABC的交点K,并判别投影的可见性。
解 （1）分析：由已知条件可见,直线MN为一般位置直线,平面ABC为一般位置平面,因此交点就可以采用辅助直线法来求。
（2）作图过程如图2-53（b）所示：
1）在V面投影图中标出直线MN与△ABC的两边AC、AB的重影点1′、2′。
2）由1′、2′作OX轴的垂线分别与ac和ab交得1、2,连接1、2,与mn交得k。
3）由k作OX轴的垂线,与m′n′交得k′,即为所求。
4）判别可见性。直线MN穿过△ABC之后,必有一段被平面遮挡而看不见,为此可以利用例2-13的方法进行判别：过m′n′和a′c′的交点作OX轴的垂线,与ac交得1,与mn交得3,由于1位于3之前,故可判断在V面投影图中,直线MN上的一段3′k′位于平面△ABC后面而不可见,画成虚线,另一段2′k′必为可见,画成粗实线。同理可判别：在H面投影图中4k为可见。
图2-53 一般位置的直线与平面的交点作图
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
