AMT控制技术：直流电动机数学模型

为了帮助读者学习执行机构的动特性，这里稍微介绍一下直流电动机的数学模型。对于不想了解电动机特性原理的读者可跳过这一节。

电动机的数学模型可以看成由两部分组成：电气部分和机械部分。对于电气部分，是一个典型的电感（L）、电容（C）和电阻（R）串联的电路，由外加电压（u）形成电流（i），输出转矩，这可用微积分方程描述如下：

式中，u（t）是外加电压和电动机反电动势的组合电压。机械部分是一个典型的质量（m）、弹簧（k）和阻尼（c）组合的系统，外加作用力矩（T），形成旋转角位移（θ）。可用微积分方程描述如下：

式中，T是施加到这个机构的外转矩，这里是电动机电磁转矩、负载转矩和哥伦布摩擦转矩的合成转矩；J为系统转动惯量（1/2Mr²）；θ为角位移；k为弹性系数；c为阻尼系数。为了便于研究，假设绕组间的容抗C为零，并假设电枢和轴是刚性的，那么一个直流有刷电动机可以用图11-4来等效。

图11-4 直流电动机等效模型

为了建立一个量的概念，可假设：

电枢转动惯量：J=0.01kgm2/s2

机械阻尼系数：c=0.1N·m

电动势常数：K=K_e=K_t=0.01N·m/A

电阻：R=1Ω

绕组电感：L=0.5H

输入电压：u=电压源

输出角度θ=轴位移角度

另外，电动机转矩（T）是电枢电流的函数，反电势（e）是电动机转速的函数：

T=k_ti

e=k_edθ/dt

从图11-4可得

通过拉普拉斯变换，上式可表达为

（JS+b）θ（S）=k_tI（S）

（LS+R）I（S）=u（S）-k_eθ（S）(www.xing528.com)

代换上两式中的电流，上式又可表示为角位移为输出和电压为输入的开环传递函数，即

上式是一个典型的二阶系统在频率域的数学模型。其中ζ是系统阻尼系数，ω_n是系统欠阻尼自然振荡频率。当ζ=0时，系统不收敛振荡，是一个不稳定系统。当0<ζ<1时，系统衰减振荡。当ζ≥1时，系统过阻尼，系统不会超调更不会振荡。闭环控制系统可以改变一个系统的阻尼系数和自然振荡频率，使其满足应用中需要的稳定性和快速性要求。

一个电动机在物理上包含有两个主要储能器件：电感线圈和转动惯量。如果将弹性和容抗都加入到模型中，那么传递函数就会变为一个四阶的线性常微分方程系统，再加上通常使用的PID闭环控制器，又会增加系统的阶数。所以，在实际应用中，真正为二阶或一阶的系统极少。由于对高阶系统求解相对复杂一些，加之所有高阶系统可以分解为二阶或一阶系统的串联物，对在系统中起主要作用的二阶子系统先进行分析可以帮助简化系统，加深对系统的理解，也利于调试。

对于一个稳定的二阶系统，它的好坏可通过时域阶跃输入的反应特性来衡量，即从输出的超调、延时、上升时间、稳定时间和稳定误差五个方面进行描述，也可从S域或Z域系统根和零点的位置描述系统的稳定特性。

对于前面所述的二阶电动机系统，角位移为输出，电压为输入：

将该方程输入Matlab的分子、分母机构内，为

num=K₁

den=（Js+b）（Ls+R）+K₂

并用Matlab的M文档方式定义所有变量值，比如：

J=0.01；b=0.1；K₁=100；K₂=0.01；R=1；L=0.5；num=K₁；

den={（J∗L）[（J∗R）+（L∗b）][（b∗R）+K₂]}；

title（‘Step Response for the Open Loop System’）

为了观察这个开环系统的性能，可在上述Matlab M文档内加上如下指令：

然后在指令框内运行该M文档，就可得到图11-5。

图11-5 电动机开环系统阶跃响应

从图11-5可看到，电动机花了3s才到达稳定值。对于AMT来讲，虽然系统不振荡很稳定，但这样的反应速度显然太慢，形成合适的闭环反馈后就可以加快速度。

如用状态方程描述，可以转角和电流作为状态量，那么：