地图投影及其分类-MapGIS与地质制图

（1）地图投影的概念

地球椭球体表面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物表示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换。

在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。地图投影的实质是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上。

球面上任意一点的位置决定于其经纬度，所以实际投影时是先将一些经纬线的交点展绘在平面上，再将相同经度的点连成经线，相同纬度的点连成纬线，构成经纬线网。有了经纬线网后，就可以将球面上的地理事物按照其所在的经纬度，用一定的符号画在平面上相应位置处。由此看来，地图投影的实质是将地球椭球面上的经纬网按一定的数学法则转移到平面上。经纬线网是绘制地图的“基础”，是地图的主要数学要素。

（2）地图投影的分类

地图投影方法的分类主要有两种，一种是按变形性质分类；另一种是按投影的构成方式分类。

①按变形性质分类。按变形性质可将地图投影分为等角投影、等积投影、任意投影。

a.等角投影的投影面上任意两方向线间的夹角与椭球体面上相应方向线的夹角相等，即角度变形为零。由于这类投影没有角度变形，便于测量方向，所以常用于编制航海图、洋流图和风向图等。等角投影地图上面积变形较大。

b.等积投影是指在投影面上任意一块图形的面积与椭球体面上相应的图形面积相等，即面积变形等于零。由于等积投影没有面积变形，能够在地图上进行面积的对比和量算，因此，常用于编制对面积精度要求较高的自然地图和社会经济地图，如地质图、土壤图、行政区划图等。

c.任意投影是指既不等角也不等积，即长度、角度和面积3 种变形并存但变形都不大的投影类型。任意投影多用于投影变形要求适中或区域较大的地图，如教学地图、科学参考图、世界地图等。

②按地图投影的构成方法分类。按地图投影的构成方式将地图投影分为几何投影和非几何投影。

a.几何投影是把椭球体面上的经纬线网投影到几何面上，然后再将几何面展开为平面而得到的一类投影，根据几何面形状的不同，几何投影又分为方位投影、圆柱投影和圆锥投影3 类。

·方位投影是以平面为投影面，使平面与椭球体相切或相割，将球面上的经纬线网投影到平面上而成。

·圆柱投影是以圆柱面为投影面，使圆柱面与椭球体相切或相割，将球面上的经纬线网投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。

·圆锥投影是以圆锥面为投影面，使圆锥与椭球体相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展开为平面而成。

在上述投影中，由于几何面与球面的位置关系不同又可以分为正轴、横轴和斜轴3 种类型，具体如图2.6所示。

b.非几何投影又称为条件投影，是根据制图的某些特定要求，选用合适的投影条件，利用数学解析法确定平面与球面之间对应点的函数关系，把球面转化成平面。包括伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影、多圆锥投影，如图2.7所示。

·伪方位投影是根据方位投影修改而来。在正轴情况下，纬线仍为同心圆，除中央经线为直线外，其余的经线均改为对称于中央经线的曲线，且相交于纬线的圆心。

·伪圆柱投影是根据圆柱投影修改而来。在正轴情况下，要求纬线仍为平行直线，除中央经纬为直线外，其余的经线均改为对称于中央经线的曲线。

图2.6 几何投影示意图

·伪圆锥投影是根据圆锥投影修改而来。在正轴情况下，要求纬线仍为同心圆弧，除中央经线为直线外，其余的经线均改为对称于中央经线的曲线。

·多圆锥投影是一种假想借助多个圆锥表面与球体相切而设计成的投影。纬线为同轴圆弧，其圆心均位于中央经线上，中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线。

（3）高斯-克吕格投影

①高斯-克吕格（Gauss-Kruger）投影概念与特点。在我国基本比例尺地形图中，除了1∶100万地形图是采用等角圆锥投影外，其他比例尺地形图都是采用高斯-克吕格投影。高斯-克吕格投影是一种横轴等角切椭圆柱投影，它是由德国数学家高斯提出，后经克吕格扩充并推导出计算公式，故称为高斯-克吕格投影，简称高斯投影。

高斯-克吕格投影是假设一个椭圆柱面与地球椭球体面横切于某一条经线上，按照等角条件将中央经线东、西各3°或1.5°经线范围内的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展开成平面，如图2.8所示。

高斯-克吕格投影的中央经线和赤道为垂直相交的直线，经线为凹向并对称于中央经线的曲线，纬线为凸向赤道并对称于赤道的曲线，经纬线投影后没有角度变形，即仍是正交状态。该投影中央经线长度约等于1，没有长变形，其余经线长度比均大于1，且距离中央经线越远，变形越大，最大变形在边缘经线与赤道的交点上，如在6 °分带投影中，长度最大变形为0.138%。显然，随着投影带的增大，变形误差会继续增加。

图2.7 非几何投影(www.xing528.com)

图2.8 高斯-克吕格投影示意图

②分带投影。为了控制投影变形，高斯-克吕格投影采用了经线6 °和3 °分带投影的方法，使其变形不超过一定的限度。

我国1∶2.5～1∶50 万地形图均采用6°分带；1∶1万及更大比例尺地形图采用3°分带。

a.6°分带。6°分带法是从格林尼治0°经线（子午线）开始，自西向东每6°为一投影带，全球共分60 个投影带，各带的编号用自然数1，2，3，…，60 表示，如图2.8所示。我国位于东经72°～136°，共包括11 个6°投影带（13～23 带）。

6°分带的带号及中央经线计算方法如下：

东半球：

带号n=[L东/6]+1（有余数时）；中央经线：L0=（6n-3）°E。

西半球：

带号n=[（360°-L西）/6]+1（有余数时）；中央经线：L0=[360°-（6n-3）°]W 或[（6n-3）°-360°]W。

b.3°分带。3°分带法是从东经1°30′经线开始，每3°为一投影带，将全球共分为120 个投影带。各投影带中央子午线的经度分别为东经3°，6°，9°，…，180°，西经177°，…，3°，0°。

3°分带的带号及中央经线计算方法如下：

东半球：

带号n=[（L东-1°30′）/3]+1（有余数时）；中央经线：L0=（3n）°E。

西半球：

带号n=[（360°-L西-1°30′）/3]+1（有余数时）；中央经线：L0=[360°-（3n）°]W 或[（3n）°-360°]W。

图2.9所示为高斯-克吕格投影分带。

图2.9 高斯-克吕格投影分带示意图

③高斯-克吕格平面直角坐标。在高斯-克吕格平面直角坐标系中，由于我国位于北半球，X值全为正，而在每个投影带中，位于中央子午线以西的点的Y 坐标均为负值。为避免Y 坐标出现负值，可将各带的坐标纵轴向西平移500 km（半个投影带的最大宽度不超过500 km），如图2.10所示。此外，由于采用了分带方法，各带的投影完全相同，具有相同坐标值的点在每个投影带中均有一个对应点，为确定该点在地球上的正确位置，还需要在其横坐标之前加上带号，这样的坐标称为通用坐标。例如位于45 带中的某一点，其横坐标值为Y=-126 568.24 m，根据上面的规定，改变的（通用的）横坐标值Y=45 373 431.76 m，其中45 为带号。

注意：

①高斯-克吕格坐标系的X、Y 轴正好对应MapGIS 坐标系的Y 和X，高斯-克吕格坐标系的纵向为X，而MapGIS 坐标系的纵向为Y。

②高斯-克吕格坐标系的横向坐标最多为6 位，纵向最多为7 位。在MapGIS 中使用时，若横向为8 位，则前两位为带号，使用时记着要去掉前边的带号，将带号输入对应的参数中。

图2.10 高斯-克吕格平面直角坐标系

③高斯-克吕格坐标系的坐标单位为m，而MapGIS 坐标系的坐标为mm，所以输入比例尺时要注意对应。

④在MapGIS 中，1∶50 万比例尺以上的标准图框都是高斯-克吕格坐标系，并且生成的标准图框都进行了坐标平移和旋转，使左下角为（0，0），左下角和右下角的坐标在纵向上相同，即水平对齐。而投影变换中的坐标都是对应投影的大地坐标。因此，在用标准图框进行投影转换前，需要先将其还原为相应的大地坐标，才能开始转换。在后边的标准图框生成过程中，有一个“是否将左下角平移为原点”，若不选该开关，则生成的标准图框中的坐标就为大地坐标，从而可以直接参加投影变换。

⑤在用户输入或矢量化的图中，其用户参考坐标系一般情况下与投影坐标系不重合，因此，用户在将这样的图进行投影转换前，只有输入控制点（TIC 点）将其平移、校正到相应的投影坐标系中，才能开始转换，否则结果不正确。总之，投影转换是相对于对应投影坐标系，而非用户坐标系。