地球物理通论：地震波场特性及热力学问题分析

物质运动的形式是多种多样的，振动和波动就是常见的运动形式。通常把随时间周期性的运动称为振动，而振动在空间的传播称为波动。物体在某一位置附近来回往复的运动称为机械振动。在弹性介质中各质点间是以弹性力相互作用着，若某一质点A受外界扰动而离开其平衡位置，其邻近质点将对它施加弹性回复力，使它回到平衡位置，并在平衡位置附近振动。与此同时，当A偏离其平衡位置时，A点的邻近质点也受到A所作用的弹性力，迫使邻近质点也在自己平衡位置附近振动起来，依次类推，邻近质点的振动又会引起较远质点的振动，于是振动就由近及远地传播出去，形成波动。机械振动在弹性介质（固体、液体和气体）内传播就形成机械波。地震波就是机械振动在地下岩石中的传播。当地震发生时，从震源辐射出各种类型的弹性波，有些通过地球内部传播（称为体波），有些沿着地球表面传播（称为面波）。从这些波的运动学特征以及频散特征，可以得到地球内部不同区域的弹性波速度分布。地震波在地下传播时，遇到介质分界面就会产生反射和折射现象，可通过反射和折射波的运动学特征及振幅等来推断这些界面的位置和性质。作为波动，地震波和光波有相似之处。波动光学在短波长的情况下可以过渡到几何光学，在一定条件下地震波的概念可以用地震射线来代替而形成几何地震学。光波只有横波，地震波却有纵、横波两部分，在具体的计算中，地震波要复杂得多。

1.1.1 地球介质弹性形变

1）地球介质

地震波在地下介质中传播，其特征与岩石的物理性质密切关联，特别是岩石的弹性。除地表外，在同一层地层中，由于地震波的波长为几米、数十米，乃至数公里，组成岩石的晶体的线度远较地震波波长小，岩石的不均匀性对地震波的传播不起作用，在研究地震波传播时，可将地球介质当作层状均匀、连续和各向同性的。

描述完全弹性体的胡克定律只反映应力σ与应变e的线性关系，不包含σ和e的时间变化。但若有能量消耗，则它们的时间变化率和就需要加以考虑。由于摩擦的存在，地震波在地球内部传播时会引起温度的变化。对于天然地震和人工爆破地震，除了在震源或人工振动源附近外，介质所受的力一般都是很小的，而且延续时间很短。而地震波的传播速度又很大，远超过地球介质的热传导速率，在研究与地震波传播有关的热力学问题时可以使用绝热假设。由于施加于岩石的应力是短暂的，能量的消失小，几乎可忽略，地球介质可当作完全弹性体。

因此，应用弹性力学的原理讨论地震波的传播。

2）应力、形变和弹性常量

应变是物体在应力作用下引起形变的一种量度，分为线应变、切应变和体应变。在弹性限度内，应力与应变遵从胡克定律，即应力与应变成正比。在描述介质弹性性质时常使用以下弹性模量。

（1）杨氏模量E：在纯伸长或压缩情况下纵向应力F／S和纵向应变ΔL／L的比值。

在理解杨氏模量的意义时，要注意弹性常数与弹性极限的区别。例如，钢的杨氏模量为E＝2．3×1011Pa，而钢的弹性极限Py＝6．0×108Pa。由上式可知，当伸长量ΔL等于原长度L，即ΔL／L＝1时，P＝E。但因为Py＜P（ΔL／L＝1），所以实际伸长量绝不可能达到原长度，伸长到原长度的1／4（ΔL／L＝Py／E＝25％）就已超弹性极限。

（2）泊松系数γ：当样品受到纵向拉力，在纵向发生伸长的同时，在横向上也必然发生相应的缩短。反之，纵向压缩，必伴随横向的扩张。设样品的横截面线度为d，其变化量为Δd，则横向线度的相对变化率Δd／d与纵向长度的相对变化率ΔL／L之比为常数，此常数为泊松系数，即

式中，负号是考虑Δd与ΔL符号相反，为保证γ为正而取的。

实验表明，对于一切介质，γ为0～1／2，金属介于1／4～1／3。对于地球介质，常取1／4表示地幔的大部分，对于地球外核（液态）取为1／2。

（3）体积模量K：纯流体在均匀静压力P下引起的体积应变为ΔV／V，则体积模量为

它的倒数1／K为压缩系数。

（4）切变模量μ（又称刚性本数）：单纯发生切应力（剪应力）时，切应力F／S和切应变φ（形变角）的比值，如图1．1所示。

图1.1 剪切力

可以证明，切变模量μ可以由杨氏模量E和泊松比γ推导出来，其关系为

因为γ＝0～0．5，故μ／E＝0．5～0．3，即切变模量不足杨氏模量的一半。一般来说，介质容易发生扭曲破裂，而不易发生压缩破裂，其道理就在这里。正因为如此，天然地震所对应的介质破裂，通过震源机制研究得知，它们基本上属于剪切破裂。

上面介绍的4个参数中，前两个参量E、γ是基本的，可以用来表示后两个参数K和μ。但在实际的地学研究中，常由速度分布导出K、μ分布，因此，体变模量K和切变模量μ具有更重要意义。当已知K、μ后，可以用下式计算出E和γ。

3）案例

以下通过一个弹性杆受力后质点的形变随时间变化的案例，来说明刻画地震波传播的微分方程式如何导出，是何种微分方程式，其解表达了什么形式的运动。

如图1．2所示，AB是弹性杆中的一段，长度为dx，受到沿杆走向一致的力F（x，t）的作用，变形为A′B′，质点离开平衡位置的形变量（位移函数）为u，则A′B′段的长度为dx＋u＋，相对伸长量ε＝，而作用在AB段单位截面的合力为F＋－F，根据牛顿第二定律：F＝ma，有

图1.2 弹性杆中一段AB受力后的形变示意图

令c2＝，u用传播量Φ表示，于是有以下形式：

这是一维的波动方程，c为波传播速度。公式的导出表明弹性杆受力后质点的形变随时间变化满足的微分方程是波动方程。

上式的简谐波特解是Φ＝Aei（ωt±kx）的实部或虚部，A是常数，称为振幅，ω和k必须满足ω／k＝c。此式对于x和t都是以λ和T为周期的周期函数，并有

ωT＝kλ＝2π 　（1．8）

式中，λ为波长；T为周期，其倒数λ－1和T－1分别为波数和频率；而k和ω各为波数和频率的2π倍，即圆周波数和圆周频率。解

表示行波，“－”号是前进波，“＋”号是后退波。由行波叠加，可得到驻波：

大地震时可以激发地球自由振荡。这原是驻波，但常作为相反方向传播的行波的叠加来分析。取前进波

Φ＝Acos（ωt－kx） 　（1．11）

式中，ωt－kx＝θ，称为波的相位。波以一定的相位前进时，有

Δθ＝ωΔt－kΔx＝0

故 　＝v＝c 　（1．12）

式中，v为相速度。对于恒定的简谐波来说，相速度v即等于传播速度c，后者是波动方程的一个参数，是由介质的弹性和密度所确定的。上面前进波表达式表示一个恒定的一维无穷波列，它没有起点和终点，而是全介质的一个稳定的运动状态。但这只是一个数学抽象。事实上，波动总是在某一时刻t0＝0，某一地点x＝0开始，经过t＝x／c时间才到达地点x。在此以前，波动尚未发出或到达。所以正确的数学表达式应当是

这样的运动称为有因的，也就是说，波动必须从某一个源出发，以一定的速度传到点x；在波未到达之前，该点没有波动。有因函数在波动分析中必须注意，否则会得到违反因果规律的结果。

1.1.2 体波、面波、全球振荡波和地震尾波

1）纵波和横波

地震波到达之处，介质就产生形变。由力学定律知道，任何小的形变都可以分解为两部分：一部分表示胀缩，即变体积而不变形状；另一部分表示剪切形变，即变形状而不变体积。形变传播时，两部分的传播速度不同。在震源附近，两部分还未分开，所以波经过处的形变是复杂的。在较远的地方，波阵面就分成两个。胀缩波传播较快，波阵面上的质点位移和传播方向一致，所以称为纵波，一般用字母P表示。较慢的叫剪切波，质点位移和传播方向垂直，所以称为横波，一般用字母S表示。在均匀的介质中，波阵面在震源附近是曲面，但在相当距离后就趋近于平面。为简单起见，现只讨论平面波。在直角坐标系（x，y，z）中，取x平行于传播方向，则（y，z）面与波阵面平行。令质点位移的三个分量各为ξ、η、ζ，则由弹性力学得到以下三个运动方程：

式中，ρ是介质的密度；λ、μ是拉梅常数。三个方程都具有波动方程的形式。

显然，纵波的传播速度vP＝，vP的下角标“P”表示“初至”（primary， preliminary）或“压缩”（push），纵波也称为P波，波的行进方向与质点运动方向一致。

横波的传播速度vS＝，v S的下角标“S”表示“续至”（secondary）或“剪切”（shear），横波也称为S波，波的行进方向与质点运动方向垂直。

上述P波和S波，总称为体波。在固体介质中，总有这两种波。由v P和v S的表达式，可知

因ρ、λ、μ全是正数，所以

vP＞vS

即在介质中任一点的纵波速度恒大于同一点的横波速度。

因此，P波总是在前，而S波在后，两者伴随前进。对于大多数岩石来说，γ＝1／4，则vP≈1．732vS。这是地球介质特有的性质。

因为体波可以穿透地球内部，在速度分界面上发生反射、折射、转换、绕射等现象，所以通过体波的分析可以了解地球内部的细结构。

由上式可见，地震波速度决定于介质的弹性与密度之比，在地球内部，岩石的弹性和密度都是随深度而增加的，不过弹性增加得更快些，所以地震波的速度一般是随深度而增加的，只有在个别地区或个别深度情况下除外。

2）面波

远震记录图上经常观测到一类波，它们的规则形状与地层介质的均匀性有很大关系，它们的振幅随深度的增加而迅速衰减，这类波是地震体波在地球表面或界面附近生成的一种次生波，可以由波动方程和边界面的应力位移条件加以确定。通常把这类能量集中在界面附近，并沿界面传播的地震波称为地震面波。经常观测到的面波有瑞利波（Rayleigh wave）、勒夫波（Love wave）及各类短周期面波。瑞利波是1885年英国物理学家瑞利（J．W．S．Rayleigh）首先在理论上导出的，之后在地震记录中得到证实。这种波的振幅在地面最大，随着深度而指数缩减。勒夫波是1911年英国力学家勒夫（A．E．H． Love）首先提出的。这种波产生条件是介质至少有两层，上层中的vS要小于下层中的vS。勒夫波是横波，存在于分界面之下，传播速度介于上下层两个横波速度之间，质点运动与分界面平行。

（1）自由表面的瑞利面波（LR）：自由表面是指表面应力为零的界面。地表面的大气层对地震波在界面的传播影响可以忽略不计，可将地表面看作自由表面。自由表面的瑞利面波是不均匀平面纵波和不均匀平面横波（含有复数宗量的平面波即不均匀波）沿自由界面传播时相互叠加而产生的。

瑞利面波是在自由表面传播而振幅随深度按指数衰减的地震波。取γ＝1／4，可导出瑞利面波的传播速度vR＝0．9194vS。瑞利面波在传播过程中，引起地表介质的质元做逆椭圆运动，椭圆上部质元指向震中（图1．3）。椭圆的水平轴和垂直轴的比值约为2∶3，且质元的垂直位移比水平位移超前π／2。

层状介质中的瑞利面波具有频散特征，即相速度随频率而变化。(www.xing528.com)

图1.3 瑞利波的偏振

图1.4 两层半无限弹性空间

（2）勒夫面波（LQ）：在层状介质中，有一种SH型的横面波，界面上的质点位移，它没有垂直分量，振动方向与传播方向垂直，称为勒夫面波。它具有频散特性。它的形成条件是，厚度为H的弹性固体层覆盖在弹性半空间之上，上覆层横波速度小于弹性半空间中的横波速度，如图1．4所示。

瑞利波和勒夫波是面波中两种基本类型。在成层的或速度随深度变化的介质中，还可能存在其他类型的面波和导波；它们的传播离不开界面，为界面所引导，在这些波中最重要的是所谓广义的瑞利波和广义的勒夫波。

（3）面波的频散特性：从地震记录图上可见，瑞利面波和勒夫面波均成群出现，每一群表现为一列波，每列波各自的频率具有不同的传播速度，波速随频率或波长而变化的现象称为面波的频散现象。

面波频散现象是由于波在层状介质中传播时相互叠加的结果。这种具有频散特性的面波在传播过程中不但具有相速度，而且具有群速度。

单色（一个频率ω）简谐波在传播过程中，波的同相面（波阵面）的传播速度称为相速度。如图1．5所示。

图1.5 简谐波

波的相速度c＝λ／T

式中，T为周期；λ为波长。

在完全弹性的平行层介质中，由于各种类型的波的叠加，在地表面观察到的面波速度随频率的变化是几何原因造成的。在地球内部，由于介质的不均匀性和非完全弹性，也导致地震体波的频散，这是物理原因造成的。由于频散，波形在传播过程中就会发生变化。例如在震源处发出的脉冲，在远处就可散成一个波列。在一给定地点所观测到的波动常常是许多波速和频率略有差别的波叠加而成的，这就产生群速的现象。先取两个振幅相同，而频率和波数分别相差小量Δω和Δk的波的叠加为例：

式中，和分别是平均频率和波数。在上式中，振幅2Acos（Δωt－Δkx）也是向前传播的，其速度是u＝Δω／Δk，称为群速度，它与相速度v＝ω／k一般是不同的。同样的概念也可以推广到许多波数相近的一群波的叠加。设这群波的波数包括在k0±ε范围之内，ε是一小数。叠加后的波动为

将位相改写为

ωt－kx＝ω0t－k0x＋（ω－ω0）t－（k－k0）x 　（1．17）

则得

C是振幅函数，显然以群速度

向前传播。无频散时，u＝＝v，故群速度与相速度不分。有频散时，，故u≠v。由定义，u又可写为

以上的推导只是根据波的运动学，但群速度的概念在动力学上也是有意义的，它其实就是波动能量的传播速度。振幅函数C可写为

这是（x－ut）的函数。对于线性的简谐波动，平均能量密度和振幅的平方成比例，故

右端显然是以群速度u传播的，平均能量流应等于。

这说明波在传播过程中其能量与振幅的平方成正比，它表示波动过程中的绝大部分能量集中在振幅极大处，所以，群速度也就是波的能量的传播速度。

图1.6 瑞利面波 周期频散曲线

从地震记录图上确定不同周期的面波相速度或群速度，作出速度 周期（频率）曲线，称为实验频散曲线。震中距为数百千米时，能接收到周期6～10s的面波。它们的能量主要限制在沉积岩层中，可以用它求得沉积岩层的厚度和速度。当震中距超过1000km时，能接收到周期为数十秒的面波，它们的能量主要限制在地壳中。长周期（周期数百秒）的面波可深达上地幔，因此，可利用长周期面波频散来研究地球的深部构造。图1．6所示为长周期瑞利面波的频散曲线。可推断出地壳20km处和在150～250km处地幔存在低速层。由面波频散资料研究地壳、上地幔的速度及结构，可补充体波资料，研究它们的不足。

面波的速度比体波小，但在地震记录上，面波的振幅一般比体波大，原因就是体波在三维中传播，而面波则是二维的，所以体波位移随距离的递减率要比面波快。在离开震源一定距离后，地震记录上的面波就比较显著了。不过地震的面波成分和它的激发条件极有关系。大地震的面波总是很显著的，但小地震的面波有时并不发育。

3）全球振荡波

像敲击可以使钟响起来一样，一次大震，也可以使整个地球振荡起来。地球整体振荡不同于体波和面波：体波和面波是行波，即在任意给定时刻内发生运动的只是地球的一部分，随着时间在行进；振荡是驻波，即在任意给定时刻内发生运动的不是地球的一部分，而是地球的整体。它们只随时间变化，而不随时间行进。另一个重要区别是，体波和面波的各种谐量都是短周期（从百分之一秒至几十秒）的，而地球振荡的各种谐量成分大都是长周期（从几分钟到几小时，或者更长）的。当然，地球振荡和体波、面波在本质上是一致的，都是以波动形式传输能量，其中，地球振荡中的高阶成分就是地震面波。

均匀弹性球的自由振荡，可以从弹性方程直接得到。主要的自由振荡是：球型振荡和环型振荡。球型振荡包含径向分量，可在长周期地震仪的垂直向记录上观测到，环型振荡只在水平方向上运动，所以可以在长周期地震仪的水平分量上观测到。除长周期地震仪外，重力仪、应变仪等也可以观测到全球振荡波。

4）地震尾波

地震体波、面波、振荡波在地震记录图上可以找到相应的脉冲或波列，一般称为震相。但地震记录并不因为震相的结束而结束，它总是拖拖拉拉地延续着，这拖拉在后面的部分，地震学家称为尾波（code wave）。从1969年安艺敬一提出了用地球内部的不均匀体引起地震波散射来解释地震尾波，并给出可和观测结果作定量对比的理论之后，尾波的研究才逐渐走上轨道。

地震尾波的最重要特征，是它与震源到台站之间的路径无关，给出的是统计平均结果。可以用尾波的延续时间作为地震震级标度，用尾波频谱分析研究震源特征，用尾波的衰减进行介质不均匀性的研究。通过尾波研究地壳、地幔和地核中Q值的分布，Q是反映地震波随距离衰减的综合量，包括介质内摩擦效应和散射效应。而散射效应与介质结构的不均匀性，尤其与统计分布性质有关。因此，可以用尾波研究地球介质速度分布的统计性质。

1.1.3 地震波的反射和折射

设有一平面波由介质1入射于介质2，其分界面为z＝0。设波的传播方向与xOz面平行，波阵面法线的入射角为i。于是有φ＝，φ是波的位移，c是传播速度。若φ是P波，其位移方向与传播方向平行，且c＝cP；若φ是S波，则c＝cS。但位移有两个分量：一个平行于xOz面并与传播方向垂直，称为SV波；另一个则垂直于xOz面，称为SH波。P波与SV波的位移因在同一平面内，故可叠加；SH波的位移与传播面垂直，可以独立计算。

当地震波入射到一个分界面时，若两边的介质不发生滑动，则计算时的边界条件为地震波所引起的位移和应力必须连续。当P波（或SV波）由介质1入射时，可以在介质2产生一对折射的P波和SV波，其折射角分别为i2和j2；并在介质1产生一对反射的P波和SV波，其反射角分别为i2和j2。各折射与反射的波列可用与φ相似的公式来表示。应用以上运动在z＝0时为连续的条件，立得

其中下角标1、2各指相应的介质。此式称为斯涅耳定律（Snell's law）。根据边界条件，还可计算折射波和反射波的振幅与入射波振幅之比，称为透射系数和反射系数。

图1.7 P波在地面的反射

它们一般比较复杂，但当界面是地表面时，结果是简单的。因为地面可以近似地看作一个自由面，所以边界条件简化为：z＝0时，应力分量等于零。当P波由地下入射到地面时，只有两个反射波（图1．7）。由边界条件可得

入射P波的真入射角为i，但由于反射SV波的存在，地面上所测得的视出射角θ不等于i，可以证明：

θ＝2j 　（1．24）

由斯涅耳定律，可以解出真入射角i、j为

当SV波入射时（图1．8），则有

图1.8 SV波在地面的反射

对于横波，位移方向与射线方向垂直，视出射角φ为

由此可以解出真入射角j。

当SH波入射时，情况最简单，反射波只有一个SH波，其反射系数恒等于1。所以当SH波入射到地表面时，面上的位移振幅恒为入射振幅的2倍。

地震波的计算除在极简单的几何条件下，一般都是复杂的。在实际问题中，常常都采用地震射线的概念，这和几何光学很相似。所谓地震射线，就是地震波传播时，波阵面法线的轨迹，也即是震动由一点传播到另一点所经过的途径。射线地震学，也叫几何地震学，是波动地震学在波长很短时的近似。它可以由波动地震学推演出来，但更直接的是根据费马原理。这个原理为：当一个震动由介质中一点传播到另一点时，它所经过的途径是使其传播时间为一稳定值（最大、最小或拐点）。设震动由A点出发，沿途径s传播到B，传播速度是c（x，y，z），所用的时间是t，则费马原理就是

δ是变分。根据这个原理，若A和B各在一个分界面的两边或一边，就立刻得到斯涅耳的折射或反射定律。

地面以下地震波传播速度一般都是随深度而增加的，因此地震射线总是向上弯曲。这就使得一条射线从震源出发，无论向何方向出射，最后总能弯回到地面。当地区不大时，地面的曲率可以忽略，地球介质可以看成是由平面平行层组成的。如图1．9所示，h和c各为层的厚度和其中的波速（为简便计，只考虑c P，这对人工震源是合适的）。取x轴沿最上界面，z轴垂直向下。由O点至A点所需的传播时间t为

图1.9 平面平行层的折射

其中p＝为一常数。A点的x坐标为

若介质的性质是连续变化的，即c＝c（z），则可令hk→dz，n→∞，便得

若c＝c（z）为已知，则上式可以求出。由图1．9平面平行层的折射可见，折射波在A点反射而又回到地面。若A点的in为90°，则可不经反射而全程都是折射波，此时A点为射线途径的最低点。

若介质是分层的，当地震波由低速的一方向高速的一方入射时，还存在一种波，称为侧面波（或叫首波、折射波、衍射波、行走反射波等），这在光波中不易见到，但在地震波中则为常见。这种波以临界角（i＝arcsinc1／c2）入射后，又以临界角连续出射。若在地下深为h处有一震源，则在一定的震中距离处的任一点C都可观测到这种侧面波（图1．10）。射线OABC满足费马原理，但AB射线如何又能折回则是射线理论所不能解释的，必须从波动方程中求得答案。定性的说明是：震动沿AB路径的传播速度是c2，这是沿分界面传播的，必将影响介质1。因c2大于介质1中的固有速度c1，按照惠更斯原理（Huygens principle），在介质1中就产生一种首波，与子弹在空气中以超声速飞行相似，但这个波在介质2中并不存在，所以只是一个半首波。在地震测深中用的折射法其实就是利用侧面波，而不是真正的折射波。

图1.10 首波