水文资料整编：单一关系线的拟合结果

在水文要素间的关系中，最常见到的基本关系线为单一关系线。在率定这些水文要素间的关系时，人工整编一般是通过关系点的点群中心，用适线法定出关系曲线。用计算机进行整编时，一般用一定的关系方程对实测的关系点进行拟合。

1.曲线拟合中的数学模型

用一定的数学模型来拟合单一曲线的工作，过去做过不少的尝试。人们所用过的数学模型有幂指数型、抛物线型、双曲线型、线性逐步回归及浮动多项式等。幂指数方程是流量资料整编中最常用的方程，其形式为

式中 Q——流量；

Z——水位；

Z 0——断流时的水位；

C、β——常数。

抛物线方程是最早用来拟合水位流量关系的方程之一，其形式为

式中 Q——流量；

Z——水位；

A 0、A 1、A 2——待定常数。

双曲线方程，其形式为

式中 a、b、c、d——待定常数；

Z、Q——水位与流量。

有些函数可以展开为幂级数，通过展开整理，其级数的形式相同，一般形式为

式中 A 0、A 1、…、A m、…——常数；

h——反映水位高低的变量。

若取式（7.4）的m+l项对原函数进行逼近，则以上级数可以用最高次为m的多项式表示，即

多项式方程是精度较高、通用性较強、应用较多的方程形式。

线性逐步回归数学模型的方程形式亦为式（7.5）。它是应用最小二乘方原理，对所形成的正规方程组进行线性变换，成为标准化正规方程。在求解标准正规方程组时，不是直接求解，而是根据其对因变量有无显著贡献，把那些贡献不大的自变量函数剔除掉。为达到此目的，首先从只包括一个自变量函数的回归方程开始，接着是有两个自变量函数的回归方程，并反复进行：①对已在回归方程中的自变量函数进行显著性检验，显著者保留；②对不在回归方程中的其余自变量函数挑选最重要的一个自变量函数进入回归方程，直至最后回归方程中再不能剔除任一自变量函数，也不能再引入自变量函数为止。由于这一方法是通过对自变量函数逐步筛选来完成的，故称为逐步回归。

2.浮动多项式配方程模型

浮动多项式配方程模型是用最小二乘方法选配项数不等的若干个多项式方程，根据单一线精度指标及单一曲线的水文特性，从若干个方程中选取符合水文特性的最优多项式作为最终选配的方程。

（1）最小二乘方选配多项式方程。若有n个观测点，选配m+1项的多项式方程，其自变量为h，因变量为Q，则每一个测点都应有一关系式。n个测点有n+1个关系式（n＞m-1）(www.xing528.com)

由于各个测点都有误差，由于各个测点并不严格满足（7.6），因此式（7.6）为一矛盾方程组。

最小二乘方原理，就是使所配方程与每一实测点的离差平方和最小，即

取极小值，要满足条件，只需对各待定系数求偏导数，并使其等于零

该方程组有m+1是个待定系数，有m+1个方程，有唯一解。方程组（7.8）求出偏导数后的形式为

方程组（7.9）称为正规方程组，此方程组为一线性方程组，其系数矩阵与自由项组成方程组的增广矩阵。解方程组（7.9）便可求出各待定系数A 0、A 1、…、Am、…，即求出了有一确定项数的多项式方程。

（2）浮动多项式。如上所述，解方程组（7.9），仅求出一项数确定的一个多项式方程，改变多项式的项数，则可用上述方法求出多个方程组，因此，要建立浮动多项式首先要确定多项式的最多项数。实践表明，一般多项式最多项数取12项就足够了，而对数浮动多项式的最多项数取8项即可。

要选取最优多项式，应有一个精度指标。关系方程的精度可以用一定置信水平的关系方程的不确定度来衡量。

一定置信水平的关系方程的不确定度与实测关系点对关系方程的标准差、选用关系方程的形式、水位的高低和实测点的测次等因素有关。

在反映关系方程精度情况的诸因素中，对于测次一定的资料，其关系点偏离关系方程的相对标准差是最重要的指标。在项数不等的多个多项式方程中，实测点偏离关系线的标准差S，建议用下面的公式

式中 Qi——实测值；

Qci——关系方程推算值；

N——测次数；

f——自由度损失值，一般等于多项式的项数。

项数不等的多个多项式方程中，相对标准差小者为优。

3.数学模型的检验

对单一关系线的定线有着具体规定：①水位流量关系点的分布，若75%以上的点与关系曲线的偏离相对误差、流速仪法高，中水不超过土5%、流速仪法低水及水面浮标法不超过±8%，可定为单一线；②对所定的单一线要进行符号检验、适线性检验、偏离数值检验等；③对于单一水位流量关系，一般测站为一下凹的增值曲线，因此不允许曲线反曲。计算机所拟合的水位流量关系方程应从以上几方面来检验所定方程的合理性。

单一曲线，其线型一般应符合一定的水文特性。例如，单一水位流量关系方程一般不允许出现反曲。但在用计算机拟合多项式方程时，有时会出现反曲，其原因有水文观测方面的，也有洪水本身特性造成的。出现反曲现象的测点分布特点是：一般测次较少，且分布不均，流量偏小的测点较多或有流量特别偏小的测点。例如，有的测站涨水历时很短，切测验条件困难，水位流量关系本身为一幅度很小的绳套曲线，这样就会造成落水测点较多、且流量偏小，用多项式定线时会出现反曲的现象。

造成方程反曲的另一个原因是所用多项式的项数太多。直线方程谈不上反曲；二次三项式，其二阶导数为一常数也不会出现反曲；四项式其二阶导数为一直线方程，可能出现一次反曲（反曲处二阶导数为0）；项数越多，反曲的可能性越大。

由于选配的多项式方程会出现反曲现象，因此，在使用浮动多项式时，对明显可造成反曲的测点分布，在定线时应加以处理。例如，加进一些历史上的高水控制点，即可使方程改观。

图7.1　反曲检查示意图

对于有些方程可能造成的反曲，在浮动多项式中加进反曲检查来加以排除，如图7.1所示。反曲检查的方法可以根据方程的形式，求其二阶导数，其小于零者为反曲。亦可按一定的水位间隔推求流量，设相邻点水位差ΔZ为一常数，其相应推出的流量为ΔQ，若ΔQ随着水位的增高逐渐增大，则属正常；反之，则为反曲。检查反曲的判别式为

式中 i——在方程上从低水位到高水位以相等的间隔ΔZ所取的点序。凡符合上式者属正常，否则为反曲。