双代号网络图的计算方法

双代号网络图计算的目的在于确定网络图中各项工作的时间参数，为网络计划的执行、调整和优化提供必要的时间依据。双代号网络图时间参数的计算内容包括: 各项工作的最早开始时间、最早完成时间、最迟开始时间、最迟完成时间、各项工作的各类时差以及工期等。

网络图时间参数的计算方法有图上计算法、表上计算法和电算法等。

13.2.1 图上计算法

图上计算法计算时间参数的方法主要有两种: 工作计算法和节点计算法。工作计算法是指在双代号网络计划中直接计算各项工作的时间参数的方法。节点计算法是指在双代号网络计划中先计算节点时间参数，再据此计算各项工作的时间参数的方法。

1. 按工作计算法计算时间参数

(1) 最早开始时间的计算

工作的最早开始时间是指各紧前工作全部完成后，本工作有可能开始的最早时刻。工作i-j的最早开始时间用ESi-j表示。其计算应符合下列规定:

①工作i-j的最早开始时间ESi-j应从网络图的起点节点开始，顺着箭线方向依次逐项计算。

②以起点节点i为箭尾节点的工作i-j，当未规定其最早开始时间ESi-j时，其值应等于零，即

ESi-j=0　(i=1)　(13.2.1)

③其他工作i-j的最早开始时间ESi-j应为

式中: ESh-i——工作i-j的各项紧前工作h-i的最早开始时间;

Dh-i——工作i-j的各项紧前工作h-i的持续时间。

［例13.2.1］如图13.2.1所示的双代号网络计划，试计算各项工作的最早开始时间。

图13.2.1

解: 根据式 (13.2.1) 和式 (13.2.2)，计算过程如下:

工作A　ES1-2=0

工作B　ES1-3=0

工作C　ES2-3=ES1-2+D1-2=0+1=1

工作D　ES2-4=ES1-2+D1-2=0+1=1

工作E　

工作F　

虚工作4-5　

工作G　

工作H　

(2) 最早完成时间的计算

最早完成时间是指各紧前工作全部完成后，本工作有可能完成的最早时刻。工作i-j的最早完成时间用EFi-j表示。应按下式计算

EFi-j=ESi-j+Di-j　(13.2.3)

如［例13.2.1］网络计划中各工作的最早完成时间计算如下

工作A　EF1-2=ES1-2+D1-2=0+1=1

工作B　EF1-3=ES1-3+D1-3=0+5=5

工作C　EF2-3=ES2-3+D2-3=1+3=4

工作D　EF2-4=ES2-4+D2-4=1+2=3

工作E　EF3-4=ES3-4+D3-4=5+6=11

工作F　EF3-5=ES3-5+D3-5=5+5=10

虚工作4-5　EF4-5=ES4-5+D4-5=11+0=11

工作G　EF4-6=ES4-6+D4-6=11+5=16

工作H　EF5-6=ES5-6+D5-6=11+3=14。

(3) 网络计划的工期计算

网络计划中通常要求计算两类工期: 计算工期和计划工期。其计算应符合下列规定。

1) 计算工期是指根据时间参数计算所得到的工期，用TC来表示。按下式计算

TC=max EFi-{ }n　(13.2.4)

式中: EFi-n——以终点节点(j=n) 为箭头节点的工作i-n的最早完成时间。

2) 计划工期是指根据要求工期 (任务委托人所提出的指令性工期) 和计算工期所确定的作为实施目标的工期，用TP来表示。按下列情况确定:

①当已规定了要求工期Tr时

TP≤Tr　(13.2.5)

②当未规定要求工期时

TP=TC　(13.2.6)

如［例13.2.1］网络计划中就未规定要求工期，根据以上规定可得

(4) 最迟完成时间的计算

最迟完成时间是指在不影响整个任务按期完成的前提下，工作必须完成的最迟时刻。工作i-j的最迟完成时间用LFi-j来表示。其计算应符合下列规定。

①工作i-j的最迟完成时间LFi-j应从网络图的终点节点开始，逆着箭线方向依次逐项计算。

②以终点节点(j=n) 为箭头节点的工作的最迟完成时间LFi-n，应按网络计划的计划工期TP确定，即

LFi-n=TP　(13.2.7)

③其他工作i-j的最迟完成时间LFi-j应为

式中: LFj-k——工作i-j的各项紧后工作j-k的最迟完成时间;

Dj-k——工作i-j的各项紧后工作j-k的持续时间。

如［例13.2.1］网络计划中各项工作的最迟完成时间计算如下:

工作H　LF5-6=TP=16

工作G　LF4-6=TP=16

虚工作4-5　LF4-5=LF5-6-D5-6=16-3=13

工作F　LF3-5=LF5-6-D5-6=16-3=13

工 作 E　

工作 D　

工 作 C　

工 作 B　

工 作 A　

(5) 最迟开始时间的计算

最迟开始时间是指在不影响整个任务按期完成的前提下，工作必须开始的最迟时刻。工作i-j的最迟开始时间用LSi-j来表示。按下式计算

LSi-j=LFi-j-Di-j　(13.2.9)

如［例13.2.1］网络计划中各工作的最迟开始时间计算如下:

工作H　LS5-6=LF5-6-D5-6=16-3=13

工作G　LS4-6=LF4-6-D4-6=16-5=11

虚工作4-5　LS4-5=LF4-5-D4-5=13-0=13

工作F　LS3-5=LF3-5-D3-5=13-5=8

工作E　LS3-4=LF3-4-D3-4=11-6=5

工作D　LS2-4=LF2-4-D2-4=11-2=9

工作C　LS2-3=LF2-3-D2-3=5-3=2

工作B　LS1-3=LF1-3-D1-3=5-5=0

工作A　LS1-2=LF1-2-D1-2=2-1=1。

(6) 时差的计算

所谓时差是指工作的机动时间，包括总时差、自由时差两类。

1) 总时差

总时差是指在不影响总工期的前提下，本工作可以利用的机动时间。工作i-j的总时差用TFi-j来表示。按下式计算

TFi-j=LSi-j-ESi-j　(13.2.10)

或

TFi-j=LFi-j-EFi-j　(13.2.11)

如［例13.2.1］网络计划中，根据式 (13.2.10) 计算各工作的总时差计算如下:

工作A　TF1-2=LS1-2-ES1-2=1-0=1

工作B　TF1-3=LS1-3-ES1-3=0-0=0

工作C　TF2-3=LS2-3-ES2-3=2-1=1

工作D　TF2-4=LS2-4-ES2-4=9-1=8

工作E　TF3-4=LS3-4-ES3-4=5-5=0

工作F　TF3-5=LS3-5-ES3-5=8-5=3

虚工作4-5　TF4-5=LS4-5-ES4-5=13-11=2

工作G　TF4-6=LS4-6-ES4-6=11-11=0

工作H　TF5-6=LS5-6-ES5-6=13-11=2。

总时差具有以下性质:

①总时差为0的工作称为关键工作。

在［例13.2.1］中，工作B、工作E和工作G的总时差均为0。因此，工作B、工作E和工作G为关键工作，由这几项工作组成的线路1-3-4-6为关键线路。关键线路在网络图上通常用粗箭线或双箭线表示。

②如果总时差等于0，其他时差也都等于0。

③某项工作的总时差不仅属于本工作，而且与前后工作都有关系，这项工作的总时差为一条线路或线段所共有。

2) 自由时差

自由时差是指在不影响其紧后工作最早开始时间的前提下，本工作可以利用的机动时间。工作i-j的自由时差用FFi-j来表示。其计算应符合下列规定:

①当工作i-j有紧后工作j-k时，其自由时差应为

FFi-j=ESj-k-EFi-j　(13.2.12)

或

FFi-j=ESj-k- (ESi-j+Di-j)　(13.2.13)

②以终点节点(j=n) 为箭头节点的工作，其自由时差FFi-n应按网络计划的计划工期TP来确定，即

FFi-n=TP-EFi-n　(13.2.14)

或

FFi-n=TP- (ESi-n+Di-n)　(13.2.15)

如［例13.2.1］网络计划中，根据式 (13.2.12) 和式 (13.2.14) 计算各工作的自由时差如下:(www.xing528.com)

工作A　FF1-2=ES2-3-EF1-2=1-1=0

工作B　FF1-3=ES3-4-EF1-3=5-5=0

工作C　FF2-3=ES3-4-EF2-3=5-4=1

工作D　FF2-4=ES4-6-EF2-4=11-3=8

工作E　FF3-4=ES4-6-EF3-4=11-11=0

工作F　FF3-5=ES5-6-EF3-5=11-10=1

虚工作4-5　FF4-5=ES5-6-EF4-5=11-11=0

工作G　FF4-6=TP-EF4-6=16-16=0

工作H　FF5-6=TP-EF5-6=16-14=2。

计算自由时差时，根据总时差的性质②，也可以直接确定工作B、工作E和工作G的自由时差为0。

自由时差具有以下性质:

①自由时差小于或等于总时差。

②以关键线路上的节点为结束节点的工作，其自由时差与总时差相等。

③自由时差对后续工作没有影响，利用某项工作的自由时差时，其后续工作仍可以按最早开始时间的时间开始，所以这一部分时差应积极加以利用。

(7) 时间参数的标注法

网络计划中的时间参数通常采用四时标注法和六时标注法。

四时标注法就是在网络计划中，计算四个时间参数，即: 最早开始时间、最迟开始时间、总时差和自由时差，且标注在网络图上。其标注方式如图13.2.2 (a) 所示。

六时标注法就是在网络计划中，计算六个时间参数，即: 最早开始时间、最早完成时间、最迟开始时间、最迟完成时间、总时差和自由时差，且标注在网络图上。其标注方式如图13.2.2 (b) 所示。

图13.2.2 时间参数标注法

以［例13.2.1］网络计划中计算结果为例，按六时标注法标注时间参数如图13.2.3所示。

图13.2.3 网络计划时间参数标注

2. 按节点计算法计算时间参数

(1) 节点最早时间的计算，节点最早时间是指在双代号网络图中以该节点为开始节点的各项工作的最早开始时间。节点i的最早时间用ETi表示。其计算应符合下列规定:

①节点i的最早时间ETi应从网络图的起点节点开始，顺着箭线方向依次逐项计算。

②若起点节点i未规定最早时间ETi时，其值应等于零，即

ETi=0　(i=1)　(13.2.16)

③其他节点j的最早时间ETj应为

式中: ETi——工作i-j的箭尾节点i的最早时间;

Di-j——工作i-j的持续时间。

(2) 网络计划的计算工期TC按下式计算

TC=ETn　(13.2.18)

式中: ETn——终点节点n的最早时间。

(3) 网络计划中计划工期TP的计算与工作计算法中的计算方法相同，即分别根据要求工期Tr和计算工期TC按式(13.2.5) 和式(13.2.6) 计算。

(4) 节点最迟时间的计算，节点最迟时间是指在双代号网络图中以该节点为完成节点的各项工作的最迟完成时间。节点i的最迟时间用LTi表示。其计算应符合下列规定:

①节点i的最迟时间LTi应从网络图的终点节点开始，逆着箭线方向依次逐项计算。

②终点节点n的最迟时间LTn应按网络计划的计划工期TP确定，即

LTn=TP　(13.2.19)

③其它节点的最迟时间LTi为

式中: LTj——工作i-j的箭头节点j的最迟时间。

(5) 各工作的时间参数可以根据节点时间参数计算如下:

①工作i-j的最早开始时间ESi-j按下式计算

ESi-j=ETi(13.2.21)

②工作i-j的最早完成时间EFi-j按下式计算

EFi-j=ETi+Di-j　(13.2.22)

③工作i-j的最迟完成时间LFi-j按下式计算

LFi-j=LTj　(13.2.23)

④工作i-j的最迟开始时间LSi-j按下式计算

LSi-j=LTj-Di-j　(13.2.24)

⑤工作i-j的总时差TFi-j按下式计算

TFi-j=LTj-ETi-Di-j　(13.2.25)

⑥工作i-j的自由时差FFi-j按下式计算

FFi-j=ETj-ETi-Di-j　(13.2.26)

(6) 时间参数的表示法，按节点计算法计算的节点时间参数，其计算结果应标注在节点上，如图13.2.4所示。

［例13.2.2］按节点计算法计算［例13.2.1］中节点时间参数，并计算出工作1—2的时间参数。

解: (1) 节点最早时间的计算，节点1为网络计划的起点节点，因未规定其最早时间，故按式 (13.2.16) 计算，即

ET1=0

其他节点的最早时间按式 (13.2.17) 计算如下

图13.2.4

ET2=ET1+D1-2=0+1=1

(2) 计划工期的计算，由于该网络计划未规定要求工期，因此根据式 (13.2.6) 计算，即

TP=TC=ET6=16。

(3) 节点最迟时间的计算，节点6为网络计划的终点节点，其最迟时间根据计划工期TP求得，即

LT6=TP=16

其他节点的最迟时间按式 (13.2.20) 计算如下

LT5=LT6-D5-6=16-3=13

将以上计算结果标注在网络图上，如图13.2.5所示。

(4) 工作1—2时间参数的计算，根据节点计算法推算出工作的时间参数，计算结果如下

ES1-2=ET1=0

EF1-2=ET1+D1-2=0+1=1

LF1-2=LT2=2

LS1-2=LT2-D1-2=2-1=1

TF1-2=LT2-ET1-D1-2=2-0-1=1

FF1-2=ET2-ET1-D1-2=1-0-1=0。

其他工作的时间参数的计算由读者自行完成。计算完毕，可以将计算结果与［例13.2.1］的结果进行比较分析。

图13.2.5 网络计划节点时间参数标注

13.2.2 表上计算法

当网络计划的工作较多时，为了保持网络图的清晰和计算数据条理化，通常还可以采用表格进行时间参数的计算，这种计算方法称为表上计算法。现仍以图13.2.1的网络计划来说明用表上计算法计算时间参数的步骤。计算结果如表13.2.1所示。

1. 计算各工作的最早开始时间和最早完成时间

各工作的最早开始时间和最早完成时间按自上而下的顺序进行计算。

凡是以起点节点为箭尾节点的工作的最早开始时间为零，填入相应的 (4) 列中; 最早完成时间为 (3) + (4)，填入相应的 (5) 列中。

其他工作的最早开始时间按式 (13.2.2) 计算，填入相应的 (4) 列中; 最早完成时间为 (3) + (4)，填入相应的 (5) 列中。

2. 计算各工作的最迟开始时间和最迟完成时间

各工作的最迟开始时间和最迟完成时间按自下而上的顺序进行计算。

首先计算以终点节点为箭头节点的工作的最迟完成时间。通常取值为网络计划的计划工期，填入相应的 (7) 列中; 最迟开始时间为 (7) - (3)，填入相应的 (6) 列中。

其他工作的最迟完成时间按式 (13.2.8) 计算，填入相应的 (7) 列中; 最迟开始时间为 (7) - (3)，填入相应的 (6) 列中。

3. 计算各工作的总时差

各工作的总时差为 (7) - (5) 或 (6) - (4)，填入相应的 (8) 列中。

4. 计算各工作的自由时差

各工作的自由时差的计算，是在表格中找出本工作的紧后工作，用紧后工作的 (4)列减去本工作的 (5) 列，取差值的最小值，填入 (9) 列相应的行内。

5. 确定关键线路

总时差为0的工作为关键工作，关键工作组成的线路为关键线路。在表13.2.1的(8) 列中，找出值为0的工作，并在相应的 (10) 列中打“√”。

表13.2.1 时间参数计算表

13.2.3 时标网络计划简介

时标网络计划是网络计划的另一种表示形式，时标网络计划是以水平时间坐标为尺度表示工作时间的网络计划。在实践中，由于使用双代号法编制时标网络计划为多数，因此《工程网络计划技术规程》(JGJ/T121—99) 中只对双代号时标网络计划做出了规定，不提倡使用单代号时标网络计划。本节只对双代号时标网络计划进行介绍。

1. 基本规定

①时标网络计划必须以水平时间坐标为尺度表示工作时间。时标的时间单位根据需要可以是时、天、周、月或季等。

②在时标网络计划中，箭线长短和所在位置表示工作的持续时间和进程，这是时标网络计划与一般网络计划的主要区别。

③时标网络计划应以实箭线表示工作，以虚箭线表示虚工作，以波形线表示工作的自由时差。

在时标网络计划中，有时虚箭线中也有自由时差，亦应采用波形线表示。无论哪一种箭线，当有自由时差时，波形线应紧接在箭线之后，不允许出现在箭线之前。

④时标网络计划中所有符号在时间坐标上的水平投影位置都必须与其时间参数相对应。

在网络图上，节点无论大小均应看成一个点，其中心必须对准相应的时标位置，该点在时间坐标上的水平投影长度应看成0。

2. 时标网络计划的编制

时标网络计划宜按最早时间编制。在编制时标网络计划之前，应先按已确定的时间单位绘制出时标计划表。时标可以标注在时标计划表的顶部或底部。时标的长度单位必须注明。如表13.2.2所示。

表13.2.2 时标计划表

具体的编制步骤如下:

①计算网络计划各工作的时间参数。

②将所有节点按其最早时间定位在时标计划表上，再用规定线型绘制出工作及其自由时差，形成时标网络计划。

3. 检查全部水平箭线，无时差的箭线就是关键工作。关键工作组成的线路为关键线路，用双箭线或粗箭线表示。

［例13.2.3］如图13.2.6所示双代号网络计划，已分别计算出每个工作的最早开始时间、最迟开始时间、总时差和自由时差。现将双代号网络计划改绘成时标网络计划，如图13.2.7所示。

图13.2.6 双代号网络图

图13.2.7 时标网络图