大跨度屋盖抗风设计理论：基于风压谱的多自由度体系

将互功率谱的滤波表示式（4-13）代入频域积分σabjk式（2-75）中，得到

则该积分可表示为式（2-52）的形式，分子多项式示为Θ(χ)=Δab(χ)·Ujk(χ)；滤波多项式为K(ϖ)=Δabc(ϖ)·Wjk(ϖ)=Δa(ϖ)·Δb(ϖ)·Δc(ϖ)·Wjk(ϖ)。

当自功率谱的滤波形式取式（4-2）时，滤波多项式次数为m=9次，分母多项式为18次，分子多项式为8次；可采用行列式法进行计算，计算时先求出分子多项式系数θ0～θ4和滤波多项式的系数κ0～κ9；限于篇幅，这里直接给出按式（2-52）至式（2-54）求解的表达式。特别说明的是，当cab=0时，分母为零，此时，须按滤波多项式次数应按8次进行计算。

而采用留数法计算结果的表达式包含几个特征频率，物理意义更为清晰，这里简要介绍其求解过程。一般地，首先求出分母多项式在上半平面的9个单重根（对应于被积有理函数的9个1级极点）：

将其代入式（2-56）中，到积分的解析表达式。充分考虑当cab=0，a=b或j=k时可能出现的重根情况，将上述解析表达式充分简化和整理，可得出如下形式，

式中，Ω1～8为特征频率，分别为：即，

Ω1～4为考虑阻尼的结构j、k阶特征复频率；即，

Ω5～8为结构a、b节点上的风压力特征频率。为特征函数，

其中，为克罗内克（Kronecker）符号。可见，当a=b时，有，(www.xing528.com)

特征函数中的系数主要与结构动力参数有关，称为结构动力特征函数；当j=k时，有，

特征函数中的系数主要与风压谱滤波参数有关，称为风荷载特征函数。特别地，当cab=0，a=b，j=k时，式（4-36）变为式（4-21）单自由度体系风振响应解析解的形式。

类似地，当自功率谱的滤波取式（4-8）时，一般有滤波多项式次数为m=7次，分母多项式为14次，分子多项式为6次。此处省略推导过程，直接给出由留数法的计算结果表达式，

式中，特征频率为Ω1～6，分别表示为：Ω1～4考虑阻尼的结构j、k阶结构特征复频率，与式（4-37）一致；不同的是，结构a、b节点上的风压力特征频率由风压谱的峰值频率表示，

特征函数表达式同式（4-39），其中结构动力特征函数与式（4-40）一致；不同的是，由于此时m=7，风荷载特征函数表示为，

特别地，当cab=0，a=b，j=k时，式（4-42）变为式（4-22）单自由度体系风振响应解析解的形式。而且可以证明，式（4-22）是式（4-36）取λ0→∞的极限表达式，说明各解析表达式是互相联系的，可以相互印证。

虽然行列式法和留数法推导的出发点和表达形式截然不同，但对频域积分的求解结果都是殊途同归。采用解析公式代替数值积分，可显著降低算法的复杂度，提高计算效率；避免截断频率带来的误差，提高精度。然而，采用行列式的表达形式，还是留数的表达形式进行计算，还需要从实际的计算效率上比较两种方法。这里采用Intel Core i7-4790 CPU@3.60 GHz，16.0 GB RAM，Windows 7 64位操作系统，MATLAB 2012b的计算资源，分别对式（4-34）的行列式法和式（4-36）的留数法进行106次（计算量为1 M）随机参数的积分计算。计算消耗时间分别为855 s和604 s。可见，采用留数法的计算效率约为行列式法的1.4倍，这可能是由于留数法的计算结果是基于一系列特征频率的，这些特征频率便于从分析中直接计算出来，而且表达式（4-36）经过一些人为推导，简化了一些约分项，避免了重复计算，计算量小于行列式的求解。因此，后文的计算采用留数法对频域积分进行求解，具体算法流程见4.3节。