滤波表示特点-基于风压谱的大跨度屋盖主体结构抗风设计理论

2.3.2.1　滤波表示的数学物理实质

由滤波表示法的基本思想可见，滤波表示的关键是寻找一种合理的滤波器形式，使得理想白噪声进入该系统后输出的自然荷载功率谱尽可能接近实际测量结果。在这个过程中，希望使假设的模拟滤波器的表达形式尽量简洁，且能体现一定的物理含义。当然，模拟滤波器既可以是基于数学模型的，如自回归移动平均（auto regression moving average，ARMA）模型；也可以是基于类比物理模型的，如结构滤波模型。

滤波表示在地震工程中的应用最为典型，前2.2.1节中提到的金井清（Kanai-Tajimi）谱就是最好的例证之一。在金井清模型[190]中，假设基岩的加速度是强度为SW0的白噪声，基岩上的覆土被看作是具有特征频率ωg和阻尼比ζg的单自由度体系。地面加速度的功率谱就可以根据虚拟的滤波方程建立，如图2-6所示。由于金井清模型引入的滤波参数（ωg和ζg）具有明确的物理意义，便于人们对地震的场地进行参数识别并分类，得到了广泛应用。但一些学者[191]发现，金井清谱假设基岩的加速度为理想白噪声，似乎高估了低频振动的作用，因而一些学者提出用过滤白噪声替代基岩的加速度，使得结果更接近实际。后来的学者证明并总结了这类修正都是对理想白噪声进行了高通滤波[192]。

图2-6　金井清与改进的金井清地震加速度谱模型

2.3.2.2　滤波表示在频域分析中的优势

将自然激励荷载表示为模拟滤波器的形式，也为频域分析提供了便利。频域分析的计算一般归结为对频域积分的求解，被积函数一般为激励的功率谱函数与滤波函数的乘积。将激励进行滤波形式后，频域分析转化成对白噪声的滤波，该被积函数就变成了有理型滤波频响函数的频域积分。满足一定条件的滤波频响函数在频域积分中存在解析解。因此，这种滤波表示法的另一个好处是能够得到结构响应的解析近似，一方面能建立结构响应与荷载滤波参数间的联系，另一方面能够快速预估结构的响应规律，在结构初步设计中是尤为重要的。求解滤波频响函数频域积分的方法一般有行列式法和留数法。

（1）行列式法

Spanos[193]对有理型滤波频响函数的谱矩进行了系统研究，基于各阶谱矩之间的解析关系，建立了一个以各阶谱矩为未知量的线性方程组，称为谱矩方程组，从而求得形如式（2-52）的频域积分解析解。在该解中，由于引入了克拉默（Cramer）法则求解线性方程组，解的表达式包含两个行列式：谱矩方程组的系数矩阵行列式D0[式（2-54）]、与该函数频域积分（第0阶谱矩）对应的替换常数项行列式D1[式（2-53）]。因此，将该方法称为“行列式法”。

式中，为关于频率ω的有理函数；为分母多项式（次数为2m），为关于复频率ϖ=±iω的滤波多项式（次数为m），滤波多项式的系数κ n≥0（n=0，1，…，m），为关于频率ω的分子多项式（次数不高于2m-2），D1和D0为与多项式系数有关的m阶行列式。

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（2）留数法

在复分析理论中，也提供了求解频域积分式（2-52）的方法，称为柯西留数定理（Cauchy’s residue theorem）[194]或闭路积分原理[178]。运用该原理求解形如式（2-52）的频域积分时，当满足下列两个条件时，可以证明积分是存在的：①分母多项式的次数比分子多项式至少高二次；②分母多项式在实轴上没有零点，即被积函数Q(ω)在实轴上没有奇点。

根据代数学基本原理及其推论可知，总能将m次的分母多项式因式分解总能得到，假设则称为被积函数Q（ω）在上半复平面的n级极点表示复共轭。根据柯西留数定理，得

式中，为被积函数Q(ω)在n级极点处的留数（Residue）。

特别地，当极点均为1级极点时，式（2-55）简化为，

基于以上两种方法都能够给出频域积分的解析解，在计算时不仅可以提高计算效率，此外采用解析解代替数值积分可以避免截断频率带来的误差，计算误差仅来源于功率谱的拟合精度，更易控制。

然而，在上述两种方法中，分子多项式一般都是偶数次的，Spanos和Miller[195]还基于希尔伯特（Hilbert）变换给出了分子多项式是奇数次时的解。随着分数阶微积分理论的发展，一些学者还给出了分子多项式为分数次幂函数时的近似解。

针对波浪谱，Spanos[193]提出用有理函数模型对其进行滤波表示，并给出了滤波模型参数随方向、深度等物理参数变化的曲线，建立了滤波模型与物理现实的联系。他还将该模型应用于单自由度的结构分析上，基于“行列式法”求解了频域积分的解析解，给出了波浪激励下结构响应的一种解析近似。此外，Roberts和Spanos[196]还基于“行列式法”，给出了简单双自由度剪切型体系在金井清谱作用下的结构响应解析算例。可见，目前基于滤波表示的频域计算方法多用于单自由度体系或简单的（单点输入的）多自由度体系。

而作用在大跨度屋盖上的风荷载是多点输入空间相关的脉动场，加之大跨度屋盖结构属于复杂的多自由度动力体系，滤波表示法在该类问题上目前还未有应用研究。一方面是由于考虑复杂空间相关性的风压场功率谱的滤波表示方法研究较少；另一方面是多自由度结构的随机振动分析理论推导较为复杂，针对大跨度屋盖结构还需考虑高阶模态的贡献和模态耦合效应的影响。后文将对上述两个问题进行深入探讨。