矩形面积承受竖向均布荷载时的附加应力

当建筑物荷载通过基础中心时，基底应力为均布荷载，因此基底附加应力也为均布荷载。假设基础底面的形状为矩形，宽度为b，长度为a，基底附加应力为均布荷载，荷载强度为p，求地基内各点的附加应力σz。

1.矩形基础角点下的附加应力

图3-15　矩形面积均布荷载作用时角点下的附加应力

如图3-15所示，矩形基础底面上的4个顶点均被称为角点，O、A、C、D是图中所示矩形基础的4个角点。只要在地基中的埋深z相同，则4个角点下的附加应力σz也都相同，并可表示为

式中，αd为矩形基础均布荷载的角点应力系数，可依据m=a/b和n=z/b从表3-5中查得，其中L为矩形基础的长边，B为矩形基础的短边。

表3-5　矩形面积受竖直均布荷载作用时角点下的应力系数αd

2.任意点的附加应力——角点法

如图3-16所示，N点为地基表面上的一点，当N点不再是矩形基础的角点时，求解N点下埋深z处地基中的附加应力，应借助角点法和应力叠加原理进行计算，具体步骤如下：

（1）过N点，沿着矩形基础边的方向进行切割，将N点（任意点）变为若干矩形的公共角点；

（2）利用角点法，分别计算以N点为公共角点的所有矩形基础作用有均布荷载时，N点下埋深z处的附加应力；

（3）利用应力叠加原理，“多退少补”，进行应力求和。

图3-16　以角点法计算均布矩形荷载下的地基附加应力

按照上述步骤，图3-16（a）中N点下埋深z处地基中的附加应力为

图3-16（b）中N点下埋深z处地基中的附加应力为

图3-16（c）中N点下埋深z处地基中的附加应力为

图3-16（d）中N点下埋深z处地基中的附加应力为

例题3-4　今有均布荷载p＝100 kPa，矩形基础ABCD尺寸为2 m×1 m，如图3-17所示。求荷载面积上角点A、边点E、中心点O以及荷载面积外F点和G点等各点下埋深z＝1 m处的附加应力，并利用计算结果说明附加应力在地基中的传播规律。(www.xing528.com)

解：

（1）A点下的附加应力

A点是矩形ABCD的角点，且m＝a/b＝2/1＝2，n＝z/b＝1，查表3-5得αd＝0.1999，故σz-A=αd·p=0.1999×100=20kPa。

（2）E点下的附加应力

通过E点将矩形荷载面积划分为两个相等的矩形EADI和EBCI。求EADI的角点应力系数αd：

查表3-5得αd-EADI＝0.175 2，σz-E=2αd·p=2×0.1752×100=35kPa。

图3-17　例题3-4图

（3）O点下的附加应力

通过O点将原矩形面积分为4个相等的矩形OEAJ、OJDI、OICK和OKBE。求OEAJ角点的附加应力系数αd：

查表3-5得αd＝0.120 2，故σz-O=4αd·p=4×0.1202×100=48.1kPa。

（4）F点下附加应力

过F点作矩形FGAJ、FJDH、FGBK和FKCH。假设αd1为矩形FGAJ和FJDH的角点应力系数，αd2为矩形FGBK和FKCH的角点应力系数。

（5）G点下附加应力

通过G点作矩形GADH和GBCH分别求出它们的角点应力系数αd1和αd2。

查表3-5得αd2＝0.120 2。

将计算结果绘成图3-18，可以看出，在矩形面积受均布荷载作用时，不仅在受荷面积垂直下方的范围内产生附加应力，在荷载面积以外的地基土中（F、G点下方）也会产生附加应力。另外，在地基中同一深度处（例如z＝1 m），离受荷面积中线愈远的点，其附加应力愈小，矩形面积中点（O点）处附加应力最大。将中点O下和F点下不同深度的σz绘制成曲线，如图3-18（b）所示。本例题的计算结果证实了上面所述的地基中附加应力的传播规律。

图3-18　例题3-4计算结果