声学长度修正方法：等效颈长的改进策略

锥颈共振器相对于传统共振器，特殊点在于锥形颈部结构，其几何参数直接影响共振器的声学性能，因而先对锥形颈部的声学特性进行深入研究。

锥颈共振器的颈部实际是锥形管结构，其结构示意图如图5.11所示。

图5.11　锥形管结构示意

图5.11中坐标原点为锥形管的假想顶点，xc1为假想顶点到入口截面的距离，xc2为假想顶点到出口截面的距离，l1为锥形管长度，r11、r12分别为锥形管的入口半径和出口半径。从图中可以看出，锥形管的横截面是沿轴向逐渐变化的。声波在直管道中传播时由于等横截面的壁面限制，在截止频率以下会严格按平面波的形式进行传播。而在锥形管中，受到高阶非平面波声模态的影响，使得锥形管内的声音不再以准平面波的形式传播，接近于球面波的形式，如图5.6中锥颈部分所示。

声传播形式发生了变化，再基于平面波理论去计算锥管的声学性能会出现较大的误差。对于声传播过程中产生的非平面波效应，采用声学长度修正是减小计算误差的一种方便快捷方法[137]，非常适用于一维模型中的应用。因而本书中采用声学修正长度解决锥形管内部非平面波传播所带来的计算结果误差。

（1）柱形法分割。

锥形管壁面边界可以近似等效成平行于轴线的分段阶梯边界[140]，形成一系列小的突变截面，从而考虑用微小突变截面处产生的高阶非平面波声模态去等效实际锥形管内的高阶非平面波。微小突变截面处可以用声学修正长度去等效，然后将所有微小突变截面的等效长度集中起来，可以获取锥形管的等效声学修正长度。

采用柱形法对锥形管沿轴向进行分割离散，如图5.12所示。

图5.12　锥形管柱形法分割示意

先抽取单个突变截面进行分析，如图5.13所示。

图5.13　突变截面声学结构参量示意

式中　p1，0——入口的（0，0）阶模态声压；

p2，0——出口处的（0，0）阶模态声压；

Za——等效集总声阻抗率；

u1，0——入口处的体积速度。

将式（5.1）用阻抗率表示，得式（5.2）。

式中　Z1，Z2——入口和出口处的阻抗率；

S1，S2——入口和出口的截面面积。

集总声阻抗率可进一步换算为管道声学修正长度[49-51]，见式（5.3）。

式中　δ——声学修正长度。

将一个长度为l1的锥形管均匀的分割成N片（见图5.12），每一片的轴向长度为Δx=l1/N 。其中第i片和第i+1片（i=1，2，3，…，N-1）之间突变截面的阻抗表达式见式（5.4）。

进行迭代运算可得到式（5.5）。

式中　Zat——整段锥形管的集总阻抗，其表达式见式（5.6）。

联立式（5.3）和式（5.6），可得到整段锥形管声学修正长度，见式（5.7）。

Kang基于二维解析方法研究了突变截面的声学修正长度，并提出了近似修正公式，见式（5.8）[97]。

式中　α=δ/r1——声学长度修正系数；

r1，r2——突变截面颈部入口和出口的截面半径。

锥形管分割后第i段的截面半径见式（5.9）。(www.xing528.com)

将式（5.9）代入式（5.8）中，可以得到第i和第i+1相邻两片之间突变截面处的声学修正长度，见式（5.10）。

再将式（5.10）代入式（5.7）中，可计算得到整段锥形管的声学修正长度δc。通过对式（5.7）分析可知，分割段数N的大小将直接决定声学修正长度的精度。下面对柱形法分割的分割段数的选取进行分析。

（2）分割段数的选取。

由极限思想可知，随着段数N增大，由分割所形成的阶梯状边界将越来越接近锥形管的光滑斜边界，而δc也将越接近准确的声学修正长度。即随着锥形管分割段数的增加，δc会收敛于一个恒定的长度。为了验证这一想法，对实际不同锥度的锥形管进行计算。选取的锥形管的几何参数如下所示：

r11=0.03m ；l1=0.1m ；r12=0.04～0.08m，其间隔为0.01m。

锥形管的锥度角可以采用式（5.11）来计算。

联立式（5.7）和式（5.10）即可得到锥形管的修正长度，修正长度随分割段数的变化曲线如图5.14所示。

从图5.14中可以看出，随着分割段数的增加，锥形管的声学修正长度都逐渐收敛。锥形管需要分割足够的段数才能获得较准确的声学修正长度，而且锥形管锥度越大，所需分割的段数越多。

图5.14　锥形管的声学修正长度计算结果

为了分析分割段数的选取方法，选取单片分割结构进行研究，如图5.15所示。

图5.15　单片分割结构示意图

Δx=l/N，N——锥形管分割的总段数；

φ——进出口半径差的范围限值。

从图5.14可知最小锥度情况下（r12=0.04m），声学修正长度收敛速度最快，可选择最小锥度情况时的收敛曲线来估计φ的值。从图中可以看出，当分割段数超过 200时，整段锥形管的声学修正长度基本得到收敛，因而可认为此种情况下N=200即可获得准确的声学修正长度，此时φ的计算值是5×10-5m。对于锥度不同的锥形管，为保证获得准确的声学修正长度，分割段数N的取值范围见式（5.13）。

（3）锥管声学修正长度计算公式。

以上分析的柱形分割法可以获取准确的声学修正长度，但是不方便实际工程应用。为解决这个问题，本文拟采用近似方法推导锥形管声学修正长度的计算公式。从图5.15可以看出，单片分割结构的几何参数满足式（5.14）。

联立式（5.8）、式（5.10）以及式（5.15）可得

联立式（5.7）、式（5.13）和式（5.16）可推导出声学修正长度计算公式，见式（5.17）。

式中

从式（5.17）可以看出，锥形管的声学修正长度只与锥形管的进出口半径以及所分割的段数有关系。为了验证近似方法的准确性，将柱形法分割（SM）的声学修正长度计算结果与近似公式计算方法（AFM）的结果进行对比，如图5.16所示。

图5.16　声学修正长度计算结果对比

从图 5.16可以看出，近似公式的声学修正长度计算结果与柱形法分割的结果吻合良好，因而可以直接采用式（5.17）对锥形管修正长度进行计算。