声源阻抗值优选法：改善汽车排气阶次噪声与气流噪声

声源阻抗值的获取在于求解式（1.4）中的非线性超定方程组。传统四负载法是将非线性方程组经过替代转化成线性方程组，从而求解出声源阻抗值。但这种传统求解方法，会使得求解结果对于输入参数的误差极为敏感，容易产生较大的误差[48]。传统四负载法产生误差的核心问题是消除了式（1.4）中的二次项，因而本小节从此点出发，将超定方程组（1.4）中的各个方程进行两两组合，通过解析几何的方法分别直接求解方程组，获得多个解，然后结合3.1.2节中的偏差估计方法选取最优解，从而有效控制误差。

为了分析这种误差控制方法的有效性，选用四种负载测管进行计算分析。则式（1.4）可写成方程组的形式，见式（3.10）。

从式（3.10）可知，非线性方程组从代数几何的角度来看，其实质是一系列圆方程。非线性方程组的解，就是这一系列圆的交点。当没有误差干扰时，三个圆将相交于一点，即声源阻抗值的精确解；而当有输入误差干扰时，三个圆方程将会有多个交点。选取（3.10）式中任意两个方程，通过解析几何的方法推导出交点的求解公式，两圆相交的几何意义如图3.9所示。

图3.9　两圆相交的几何示意

如图3.9所示，O1（ai/2，bi/2），O2（aj/2，bj/2）分别表示两个圆的圆心，其中i，j∈｛1，2，3｝。Ic（RE0，XE0）点是两圆心连线与两圆公共弦的交点，Is1（RE1，XE1），Is2（RE2，XE2）分别是两个圆的交点，

两个圆心之间的距离lo12见式（3.11）。

两个圆的半径 ro1，ro2见式（3.12）。

则由两圆之间的平面几何关系可得到Ic的坐标，见式（3.13）。

Is1和Ic之间的距离lcs见式（3.14）。

两圆公共弦的斜率可由式（3.15）表示。

根据相交两圆的几何关系可以求得两圆交点的表达式，见式（3.16）和式（3.17），式中Re表示取实部值。(www.xing528.com)

联立以上等式，即可求解得到交点的坐标值。当两圆相交时，有两个交点；当两圆相切时，求出的两个交点的坐标值相同，即为一个交点；而当两圆相离时，求出的两个交点的坐标值是复数，这时没有几何意义上的交点。相离的情况下，应该取距离两圆最近的点作为圆方程的解，从而有效减小偏差。相离时式（3.16）和式（3.17）复数坐标点的实部值相同，构成的点位于圆心的连线上，处于两圆的中间，且距离两圆是最近的点，因而将复数坐标点的实部值作为两圆的虚交点。

选取四个测管作为声学负载，根据线性频域源特性求解模型，其构成的三个圆方程的交点求解结果如图3.10所示。图3.10中，三个圆是由四个负载根据式（3.10）构成的，横轴是声源阻抗的实部，而纵轴是声源阻抗的虚部，并都进行了归一化处理。由于误差的存在，图中三个圆没有相交于一点，两个圆相交，另外一圆相离。图中的符号“*”标识出了三个圆所有的交点，包括相离情况下构成的虚交点。

图3.10　圆方程交点求解结果

如图3.10所示，按对圆方程进行两两组合的求解方法，获得了多个交点，而选取其中误差最小的点作为发动机声源阻抗值是问题的关键。3.1.2节中推导出了声源阻抗的误差估计方法，可以量化声源阻抗求解结果的误差大小。因而以式（3.9）作为衡量标准，选取使偏差估计函数值最小的交点。选取方法可由式（3.18）表示。

满足式（3.18）的计算结果如图3.11（a）所示。图3.11（b）显示的是采用传统四负载法的求解结果，如图所示，按满足式（3.18）的阻抗值最优选取方法的计算结果基本位于三个圆接近相交的地方，而传统四负载方法的求解结果则偏离三个圆很远。图3.11充分说明，相对传统四负载求解方法，本小节提出的圆方程交点最优选取的求解方法可以使计算结果更加稳定，能够有效控制输入误差对源特性识别结果的影响。

图3.11　发动机声源识别模型求解结果

将两种方法获取的声源阻抗结果分别代入式（3.6）和式（3.9）中，可以获取两种方法求解结果的误差估计，如图3.12所示。

图3.12　两种声源阻抗值求解方法的误差估计

求得的声源阻抗值偏差估计见图 3.12（a），声源声压离散度估计见图3.12（b）。从图3.12（a）可以看出，传统四负载法的阻抗值偏差估计结果在整个频带上都远大于圆交点最优选取法。从图3.12（b）可以看出，传统四负载法的声源声压离散度估计值在全频带内也高于圆交点最优选取法，平均高出4 dB左右。

图3.11和图3.12显示的结果充分说明，传统四负载法的求解结果偏差太大，准确性难以保证，而本小节提出的圆交点最优选取法，通过误差估计使声源特性求解结果稳定，从而能够有效对发动机声源识别误差进行控制。