有序Logistic回归模型定义及其应用

以y表示反应变量，假设反应变量有J种类别，分别以1，2，…，J表示反应变量的J种类别，则y的取值为y＝1，y＝2，…，y＝J。以xk表示第k个解释变量，βk表示xk的系数，k＝1，2，…，K，其中，K表示解释变量的总数。类比于线性回归模型，y与xk之间的关系应该是但因为y为分类变量，引入一个连续型反应变量y＊，将y＊作为建立y与xk关系的“桥梁”。

y＊与xk之间存在线性关系：

式中，y＊表示观测现象的内在趋势，不能被直接观测；ε为误差项。

y有J种类别，则有J-1个分界点将相邻类别分开，以μ1，μ2，…，μJ-1表示分界点，其中μ1＜μ2＜…＜μJ-1，且通常规定μ1＝0。如果y＊≤μ1，则y＝1；如果μ1＜y＊≤μ2，则y＝2；…；如果y＊＞μJ-1，则y＝J［121］。

根据y＊与y之间的关系，y≤j的累积概率P（y≤j）（j＝1，2，…，J-1）为：

式中，F为ε的累积分布函数。

让ε服从Logistic分布，Logistic函数为因此，为：(www.xing528.com)

将式（6-3）代入式（6-2），有：

将称为累积发生比，根据式（6-4）和式（6-5），有：

将式（6-6）两边取自然对数，得到有序Logistic回归模型的定义［121-124］：

式中称为累积对数发生比，j＝1，2，…，J-1，即共有J-1个方程；β0j表示截距，为待估计参数；βk表示xk的系数，为待估计参数，k＝1，2，…，K。

有序Logistic回归的反应变量与解释变量之间是非线性关系，累积对数发生比与解释变量之间是线性关系。

求出有序Logistic回归模型的未知参数β0j和βk后，根据式（6-4）可求出累积概率。属于特定类别的概率P（y＝j）便可根据累积概率求出，将P（y＝j）简称为Pj，则：