积分形式与微分形式的麦克斯韦方程组及边界条件

1.麦克斯韦方程组

积分形式的麦克斯韦方程组为

微分形式的麦克斯韦方程组为

麦克斯韦方程组中式（2-107a）或式（2-108a）表示变化的磁场产生电场，而式（2-107b）或式（2-108b）表示变化的电场产生磁场。式（2-107d）或式（2-108d）表示磁通的连续性，即磁力线既没有起始点也没有终点。这意味着空间不存在自由磁荷，或者说在人类研究所能达到的空间区域中至今还没有发现单独的磁荷存在。式（2-107c）或式（2-108c）对时变电荷与静止电荷都成立，它表明电场是有源的。

积分形式的麦克斯韦方程组反映电磁运动在某一局部区域的平均性质。而微分形式的麦克斯韦方程反映场在空间每一点的性质，它是积分形式的麦克斯韦方程当积分域缩小到一个点的极限。对电磁问题的分析一般从微分形式的麦克斯韦方程出发。

时变场中电场的散度和旋度都不为零，所以电力线起始于正电荷而终止于负电荷。磁场的散度恒为零，而旋度不为零，所以磁力线是与电流交链的闭合曲线，并且磁力线与电力线两者还互相交链。在远离场源的无源区域中，电场和磁场的散度都为零，这时磁力线和电力线自行闭合，相互交链，在空间形成电磁波。

2.电流连续性原理

麦克斯韦方程的内容极其丰富。下面将证明麦克斯韦方程包含电流连续性原理。用那勃勒算子∇点乘式（2-108b）两边，并利用矢量运算恒等关系∇·（∇×F）=0得到

根据式（2-108c），式（2-109）成为

这是由于电流和电荷连续方程。如果把式（2-110）左边第二项移到等式右边，即有

则式（2-111）的物理意义就是流出体积元的电流等于体积元内电荷随时间的减少率。显然，这是电荷守恒原理所要求的，所以式（2-111）也是电荷守恒原理的数学表达式。

3.边界条件(www.xing528.com)

麦克斯韦方程组是微分方程，与其他微分方程没有什么不同，这就是说理论上它们存在无穷多个解。因而边界条件对于场的研究具有重要意义，因此必须确定时变电磁场的边界条件。原则上说，适合静态场的各种边界条件可以直接推广到时变电磁场，下面来具体说明。每个边界条件都给出矢量和标量两种形式，下标t₁和t₂分别表示在媒质1和2边界处场的切线分量，而下标n₁和n₂则表示在边界处场的法线分量。

1）任何边界上电场强度的切向分量是连续的。

2）在任何边界上磁感应强度的法向分量是连续的。

3）电通密度的法向分量边界条件与媒质特性有关。在交界面处任意点的D₁与D₂的法线分量是不连续的，其差值等于该点的面自由电荷密度ρ_S。

4）磁场强度的切向分量边界条件也与媒质特性有关。在交界面处任意点H₁与H₂的切线分量是不连续的，其差等于该点的面电流密度J_S。

5）交界面处J_n1与J_n2的法线分量是相等的；交界面两侧密度切线分量J_t1和J_t2之比等于电导率之比。

在任何媒质中电磁场都必须满足麦克斯韦方程组，但在应用边界条件时，必须遵循以下条件。

1）在完全导体（电导率σ=∞）内部的电磁场为零，这样，在完全导体表面ρ_S和J_S可以存在。

2）在导体（电导率σ＜∞）内部可以存在时变场，因而J_S为零，但ρ_S可以在导体和完全电介质的交界面存在。

3）在两个完全电介质交界面处J_S为零。同样，如果电荷不是实际存在于交界面，则ρ_S也为零。