掌握矢量分析，学习必备数学工具

电场和磁场都是矢量场，矢量分析是分析电磁场的数学工具，掌握矢量分析将为学习电磁兼容理论内容奠定必要的数学基础。

1.标量场和矢量场

如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。或者说，在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示一种场，如在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布确定了一个电位场。场的一个重要的属性是它占有一定的空间，而且在该空间域内，除有限个点和表面外，其物理量应是处处连续的。若该物理量与时间无关，则该场称为静态场；若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或时变场。

研究物理系统中温度、压力、密度等在一定空间的分布状态时，在数学上只需用一个代数变量来描述，这些代数变量（即标量函数）所确定的场称为标量场，如温度场T（x、y、z）、电位场φ（x、y、z）等。然而在许多物理系统中，其状态不仅需要确定其大小，同时还需确定它们的方向，这就需要用一个矢量来描述，因此称为矢量场，如电场、磁场、流速场等。

2.标量场的等值面和矢量场的矢量线

在研究场的特性时，以场图来表示场变量在空间逐点分布的情况具有很大的意义。对于标量场，通常用等值面的概念来描述。所谓等值面，是指在标量场φ（x、y、z）中，使其函数φ取相同数值的所有点组成的曲面。如温度场的等值面，就是温度相同点所组成的等温面。等值面在二维空间称为等值线，如地图上的等高线，就是由高度相同的点连成的一条曲线。

标量场φ（x、y、z）的等值面方程为

φ（x、y、z）=C

式中，C为常数。

对于矢量场A（x、y、z），则用一些有向矢量线来形象地表示矢量A在空间的分布，如图2-23所示。矢量线上任一点的切线方向必定与该点的矢量A方向相同。在直角坐标系中，其矢量线方程可写成

图2-23 矢量线

按照一定的规则可绘制出矢量线，分析时，既可根据矢量线确定矢量场中各点矢量的方向，又可根据矢量线的疏密度判别出场中各点矢量的大小和变化趋势，因此，矢量线在分析矢量场特性时是十分有用的。

3.矢量场的通量和散度

（1）矢量场的通量 在分析和描绘矢量场的特性时，矢量穿过一个曲面的通量是一个很重要的基本概念。将曲面的一个面元用矢量dS来表示，其方向取为面元的法线方向，其大小为dS，即

dS=ndS （2-60）

n是面元法线方向的单位矢量。n的指向有两种情况：对开曲面上的元，设这个开曲面是由封闭曲线l围成的，则选定绕行l的方向后，沿绕行方向按右手螺旋的拇指方向就是n的方向，如图2-24a所示；对封闭曲面上的元，n取为封闭曲面的外法线方向，如图2-24b所示。

图2-24 法线方向的取法

若面元dS位于矢量场A中，由于dS很小，其各点上的A值可以认为是相同的。矢量场A和面元dS的标量积A·dS便称为矢量A穿过元面dS的通量。例如，在流速场中，流速v是一个矢量，其标量积v·dS就是每秒钟通过dS的流量。通量是一个标量。

将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分，为

如果曲面是一个封闭曲面，则有

ψ表示矢量A穿过封闭曲面的通量。若ψ＞0，表示有净通量流出，这说明封闭曲面S内必定有矢量场源；若ψ＜0，表示有净通量流入，说明有封闭曲面S内有洞（负的源）。在大学物理课程中我们已知，通过封闭曲面的电通量等于该封闭曲面所包围的自由电荷Q。若电荷Q为正电荷，ψ为正，则表示有电通量流出；若电荷Q为负电荷，ψ为负，则表示有电通量流入。

（2）矢量场的散度 通量是一个大范围面积上的积分量，它反映了在某一空间内场源的总特性，但它没有反映出场源分布特性。为了研究矢量场A在某一点附近的通量特性，我们把包围某点的封闭曲面向该点无限收缩，使包含这个点在内的体积元ΔV趋于零，取如下极限

称此极限为矢量场A在某点的散度，记为div A，即散度的定义式为

此式表明，矢量场A的散度是一个标量，它表示从该点单位面积内散发出来的矢量A的通量（即通量密度）。它反映出矢量场A在该点通量源的强度。显然，在无源区域中，矢量场A在各点的散度为均为零。

矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子∇与矢量A的标量积，即

divA=∇·A （2-65）

计算∇·A时，先按标量积规则展开，再做微分运算。因而在直角坐标系中有(www.xing528.com)

利用那勃勒算子（也称矢量微分算子），可以证明，散度运算符合下列规则

（3）散度定理 矢量A的散度代表的是通量的体密度，因此，矢量场A散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量，即

式（2-67）称为散度定理，也称为高斯定理。证明这个定理时，将闭合面S包围的体积V分成许多体积元dV_i（i=1，2，3，…，n），计算每个体积元的小封闭曲面S_i上穿过的通量，然后叠加。由散度的定理可得

由于相邻两体积元有一个公共表面，这个公共表面上的通量对这两个体积元来说恰好是等值异号，求和时就相互抵消了。除了邻近S面的那些体积元外，所有体积元都是由几个相邻体积元间的公共表面包围而成的，这些体积元的通量总和为零。而邻近S面的那些体积元，它们中有部分表面是在S面上的面元dS，这部分表面的通量没有被抵消，其总和刚好等于从封闭曲面S穿出的通量。因此有

故得到

4.矢量场的环量和旋度

（1）矢量场的环量 在力场中，某一质点沿着指定的曲线c运动时，力场所做的功可表示为力场F沿曲线c的线积分，即

式中，dl是曲线c的线元矢量，方向是该线元的切线方向，θ为力场F与线元矢量dl的夹角。在矢量场A中，若曲线c是闭合曲线，则其矢量场A沿闭合曲线c的线积分可表示为

此线积分称为矢量场A的环量（或称旋涡量），如图2-25所示。

矢量场的环量与矢量场的通量一样都是描述矢量场特性的重要参量，我们知道，若矢量穿过封闭曲面的通量不为零，则表示该封闭曲面内存在通量源。同样，若矢量沿闭合曲线的环量不为零，则表示闭合曲线内存在另一种源——旋涡源。例如，在磁场中，在环绕电流的闭合曲线上的环量不等于零，其电流就是产生该磁场的旋涡源。

（2）矢量场的旋度 从式（2-72）中可以看出，环量是矢量A在大范围闭合曲线上的线积分，它反映了闭合曲线内旋涡源分布的情况，而从矢量场分析的要求来看，我们希望知道每个点附近的旋涡源分布的情况，为此，我们把闭合曲线收缩，使它包围的面积元ΔS趋于零，并求其极限值：

图2-25 矢量场的环量

此极限值的意义就是环量的面密度，或称为环量强度。由于面元是有方向的，它与闭合曲线c的绕行方向成右手螺旋关系，因此在给定点上，上述极限对于不同的面元是不同的。为此，引入矢量场A的旋度的定义，记为rot A

由式（2-74）可以看出，矢量场A的旋度是一个矢量，其大小是矢量A在给定处的最大环量面密度，其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时，该面元的方向n。矢量场A的旋度描述了矢量A在该点的旋涡源强度。若在某区域中各点的rotA=0，则称矢量场为无旋场或保守场。

矢量场A的旋度可用那勃勒算子（也称为矢量微分算子）Δ与矢量A的矢量积来表示，即

rotA=∇×A （2-75）计算时，可先按矢量积规则展开，然后再做微分运算。在直角坐标系中可得

故有

（3）斯托克斯定理 因为旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线c上的环量等于闭合曲线c所包围曲面S上旋度的总和，即

式（2-78）称为斯托克斯定理或斯托克斯公式。它将矢量旋度的面积分变换成该矢量的线积分，或将矢量A的线积分转换为该矢量旋度的面积分。式中dS的方向与dl的方向成右手螺旋关系。