建筑制图：正等测轴测投影

正等测是轴测图中最常用的一种，也是作图比较简便的一种。

16.2.1　正等测轴测投影的轴间角与轴伸缩系数

正等测轴测投影的3 条直角坐标轴与轴测投影面的夹角α，β，γ均相等，用垂直于轴测投影面的光线照射后，3 个轴间角也相同，分别为120°；3 个轴伸缩系数也相等，即p=q=r，计算得：p=q=r=0.82，如图3.155（a）所示。

图3.155　正等测的轴间角与轴伸缩系数

在实际应用中，为了作图简便，常将轴伸缩系数简化，使p=q=r=1，这样平行于坐标轴的线段就可按实际尺寸直接作图。简化作出的正等测轴测图比实际正等测投影图放大了1.22 倍（1/0.82=1.22），如图3.156 所示。

图3.156　正等测的轴伸缩系数

16.2.2　平面立体的正等测轴测图画法

根据形体的正投影图画轴测投影图时，应遵循的一般步骤为：

①读懂正投影图，进行形体分析并确定形体上直角坐标系位置。

②选择合适的轴测图种类与观察方向，确定轴间角与轴伸缩系数。

③根据形体特征选择作图方法有：坐标法切割法叠加法端面法等。

④作图时先绘底稿线。

⑤检查底稿是否有误，然后加深图线。不可见部分通常省略，不绘虚线。

（1）坐标法

根据物体上各点的坐标，沿轴向度量，画出它们的轴测投影，并依次连接，得到物体的轴测图，这种画法称为坐标法。它是画轴测图最基本的方法，也是其他各种画法的基础。对于作棱锥棱柱体的轴测投影图尤为适宜。

微课 平面体正等轴测图画法

例3.35 已知正六棱柱正投影，如图3.157（a），画其正等测轴测图。

分析：

由于正六棱柱前后左右对称，故选其轴线为OZ 轴，坐标原点可选在顶面，也可选在底面。

作图：

①在物体上（正投影图上）定出一个直角坐标系，如图3.157（a）所示。

②在合适的地方画出轴测轴，如图3.157（b）所示。

③在O1X1 轴上量取o1a1=oa，o1d1=od，得a1，d1，在O1Y1 轴上量取o1m1=om，o1n1=on，得m1，n1，过m1，n1 作直线平行于O1X1 轴，并在此平行线上量取m1b1=mb，m1c1=mc，n1 f1=nf，n1e1=ne，得b1，c1，e1，f1 4 点。连接各点即得正六棱柱底面（正六边形）的正等测投影图，如图3.157（b）所示。

④在O1Z1 轴上量取高度o1g1，以g1 点为中心作顶面正六边形的正等测投影图（也可分别从a1，b1，c1，d1，e1，f1 往上作垂线，分别量取高度o1g1，即得顶面正六边形的投影），将顶面底面对应点连成铅垂线，即得正六棱柱的正等测投影图，如图3.157（c）所示。

⑤检查作图结果无误后，擦去不可见轮廓线，加粗可见轮廓线，完成全图，如图3.157（d）所示。

（2）切割法

对于能从基本体切割而成的形体，可先画出基本体，然后进行切割，得出该形体的轴测图。

图3.157　用坐标法作正六棱柱的正等测轴测图

例3.36 画出如图3.158 所示物体的正等测轴测图。

分析：

该物体可看成由长方体切去两个三棱柱和一个四棱柱而成，画图时以坐标法为基础，可先画出完整的基本形体，然后在正投影图上量尺寸，切去多余的形体，即得所画物体的轴测图。

作图：

①在正投影图上定出一个直角坐标系，如图3.158（a）所示。

②在合适的地方画出轴测轴，如图3.158（b）所示。

③用坐标法作长方体的正等测轴测图，如图3.158（b）所示。

④在长方体上切去两个三棱柱，如图3.158（c）所示。

⑤在长方体上切去四棱柱，如图3.158（d）所示。

⑥检查作图结果无误后，擦去不可见轮廓线，加粗可见轮廓线，完成全图，如图3.158（e）所示。注意不要遗漏切割后的可见轮廓线。

（3）叠加法

对于由几个基本体叠加而成的组合体，宜将各基本体逐个画出，最后完成整个形体的轴测图。画图时要特别注意各部分位置的确定，一般是先大后小。

图3.158　用切割法作正等测轴测图

例3.37 已知梁板柱节点的正投影图，如图3.159（a），画其正等测轴测图。

分析：

梁板柱节点由四棱柱叠加组合而成，为使形体的构造关系表达清楚，应画仰视轴测图，即投射方向由左前下至右后上。

作图：

确定空间直角坐标系，按板柱主梁次梁的顺序逐一叠加。

①在正投影图上定出一个直角坐标系，如图3.159（a）所示。

②在合适的地方画出轴测轴，如图3.159（b）所示。

③作板底的平行四边形，向上取板厚，连接可见棱线得楼板轴测图，如图3.159（b）所示。

④在楼板底面作柱主梁次梁的水平面投影，如图3.159（c）所示。

⑤过柱的在楼板底面的水平面投影向下取高度，绘柱的轴测图，如图3.159（d）所示。

⑥过主梁的在楼板底面的水平面投影向下取高度，绘主梁的轴测图，并画出主梁与柱左右的交线，如图3.159（e）所示。

⑦过次梁的在楼板底面的水平面投影向下取高度，绘次梁的轴测图，并画出次梁与柱前后的交线，如图3.159（f）所示。

⑧检查作图结果无误后，擦去不可见轮廓线，加粗可见轮廓线，完成全图，如图3.159（f）所示。

（4）端面法

对于柱类形体，通常是先画出能反应柱体特征的一个可见端面，然后画出可见的棱线和底面，完成形体的轴测图。见综合应用举例。

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图3.159　用叠加法画梁板柱节点的正等测轴测图

16.2.3　回转体的正等测轴测投影图画法

回转体的轴测画法可归纳为作圆或圆弧的轴测图。

（1）三面圆

在平行投影中，当圆所在的平面平行于投影面时，其投影是一个圆；当圆所在的平面平行于投射方向时，投影为一直线；而当圆所在的平面倾斜于投影面时，则投影为一椭圆。

如图3.160 所示为3 个坐标面内直径相等的圆的正等测投影图。3 个坐标面对P 平面的倾角相等，当3 个坐标面上的圆的直径相等时，其正等测是3 个形状大小全等，但长短轴方向不同的椭圆。

在正等测中，当采用简化系数p=q=r=1 时，3 个椭圆的长短轴长度分别为1.22D 与0.7D；当采用轴伸缩系数p=q=r=0.82 时，长短轴长度分别为D 与0.58D。D 是平行于坐标面的空间圆的直径。

（2）圆的正等测轴测图的画法

在实际应用中，画圆的正等测轴测图的方法有八点法与四心圆法，常用的是四心圆法，具体作图方法如图3.161 所示。

①在正投影图上定出一个直角坐标系，如图3.161（a）所示。

②在合适的地方画出轴测轴，如图3.161（b）所示。

③作圆的外切正方形的轴测投影，在X1 轴和Y1 轴上分别量取圆的半径实长，得A1，B1，C1，D1 4 点，过A1，B1，C1，D1 分别作X1 轴和Y1 轴的平行线，得菱形，如图3.161（b）所示。

④将两钝角的顶点O1 及O2 与两对边中点B，C，A，D 连线，分别交菱形的长对角线于O3，O4。O1，O2，O3，O4 即为椭圆的4 个圆心，如图3.161（c）所示。

⑤以O1B1 为半径，O1 和O2 为圆心作上下两段大圆弧，再以O3 B1 为半径，O3 和O4 为圆心作左右两段小圆弧，即为所求圆形轴测图，如图3.161（c）（d）所示。

图3.160　坐标面及其平行面上圆的正等测轴测图

图3.161　四心圆法作圆的正等测轴测投影

H，V，W 面上的圆的正等测圆（椭圆）的画法分别如图3.162 所示。

图3.162　H，V，W 面上的圆的正等测轴测图

（3）回转体正等测轴测图的画法

绘制回转体的正等测图，一般先画出平行于坐标面的圆的正等测图，再用直线或包络曲线画出其外形线即可。

①圆柱的正等测轴测图。

如图3.163 所示为铅垂放置的正圆柱体的正等测轴测图画法：先作出轴测轴X1Y1Z1 用四心圆法作出H 面上底圆的正等测图——椭圆，再以柱高平移圆心作顶面可见椭圆（此为移心法），最后作两椭圆的最左最右切线，即为圆柱正等测的轮廓线（切点是长轴端点），为加强立体效果，可加绘平行于轴线的阴影线，越近轮廓线画得越密，在轴线附近不画。

②圆锥的正等测轴测图。

如图3.164 所示为圆锥的正等测轴测图画法：先作底面椭圆，过椭圆中心往上取圆锥高度，得锥顶s1，过s1 点作椭圆的切线，加绘阴影线得图。

③带圆角柱体的正等测轴测图画法。

如图3.165 所示为倒角法绘制带圆角柱体的正等测轴测图：平面图中有4 个圆角，即四段圆弧分别与四边形的四条边相切。在正等测图中，这4 段圆弧的轴测投影可视为同一椭圆的不同弧段，先作长方体及切点的正等测，如图3.165（b）所示；再应用H 面上椭圆的四心圆法，过切点作相应边的垂线，两两相交得四圆心O1～O4，作出顶面上的4 个圆角；从4 个圆心向下量取h 得底面的四个圆心，画出底面上的4 个圆角；作转向轮廓线，如图3.165（c）所示；去掉作图线，完成全图，如图3.165（d）所示。

微课 曲面体正等测轴测图画法

图3.163　正圆柱体的正等测轴测图画法

图3.164　圆锥体的正等测轴测图画法

图3.165　带圆角柱体的正等测轴测图画法

16.2.4　综合应用举例

例3.38 如图3.166（a）所示，已知台阶的正投影图，求它的正等测轴测图。

图3.166　台阶的正等测轴测图画法

分析：

台阶由两侧栏板和三级踏步组成。一般先逐个画出两侧栏板，然后再画踏步。本例采用装箱法切割法端面法3 种方法来完成。

作图：

①在正投影图上确定坐标系。

②作正等轴测轴。

③画侧栏板。先根据右侧栏板的长宽高画出右侧栏板长方体，如图3.166（b）所示；在长方体顶面沿O1Y1 方向量Y2，在前面沿O1Z1 方向量Z2，并分别引线平行于O1X1，画出两斜边，得右侧栏板，如图3.166（c）所示。这个长方体好像是一个把侧栏板装在里面的箱子，故这种方法称为装箱法。切去三棱柱块又使用了切割法。

用同样方法画出左侧栏板。注意要沿O1X1 方向量出两侧栏板之间的距离X1，如图3.166（d）所示。

④画踏步。在右侧栏板的内侧面上，先按踏步的侧面投影形状画出踏步端面的正等测图，要注意每级的高度和宽度画法，如图3.166（e）所示。凡是底面比较复杂的棱柱，都应先画端面，这种方法称为端面法。过端面各顶点引O1X1 轴平行线，直到与左栏板的右侧面的可见轮廓线相交为止。

检查清理，完成全图，如图3.166（f）所示。

例3.39 如图3.167（a）所示，已知柱冠的正投影图，求作正等测轴测图。

分析：

由上而下，柱冠由方板圆台和圆柱组成，宜用叠加法作图。其次，选用正等测可用四心圆法作椭圆，画法较简便。另外，柱冠的上部形体大，下部形体小，如果投影方向从上往下，上部肯定遮挡下部，所以应选自下往上投影。

作图：

①在正投影图上确定坐标系，如图3.167（a）所示。

②确定轴测轴方向，画出方板。为简化作图，可先画底面，然后向上画高度，如图3.167（b）所示。

③以方板底面的中心O1 作为圆心，画圆台顶面的四心椭圆，如图3.167（c）所示。

④画圆台的底面。先从O1 向下量圆台高度，得圆台底面的圆心O2，然后画一个四心椭圆，随后画出圆台轮廓线，如图3.167（d）所示。

⑤画出圆柱的轴测图，如图3.167（e）所示。

⑥检查作图结果无误后，擦去不可见轮廓线，加粗可见轮廓线，完成全图，如图3.167（e）所示。

图3.167　柱冠的正等测轴测图