13.4.1 两直线的相对位置
空间两直线的相对位置有3 种：即相交平行和交叉。前两种为共面直线，后者为异面直线。
（1）平行两直线
由平行投影性质可知：若两直线平行，则它们的各组同面投影必互相平行。反之，若两直线的各组同面投影互相平行，则此两直线在空间上也一定互相平行。
对一般位置的两直线，仅根据它们的水平投影和正面投影互相平行，就可判断其在空间上也互相平行。图3.52（a）中，由于ab//cda′b′//c′d′，所以AB//CD。但是，当两直线同时平行于某一投影面时，一般还要看两直线在所平行的那个投影面上的投影是否平行，才能确定两直线是否平行。图3.52（b）中，由于直线AB 和CD 都是侧平线，有ab//cda′b′//c′d′。但由于它们的侧面投影不平行，所以直线AB 不平行CD。
微课 两直线的相对位置
图3.52 两直线是否平行的判断
（2）相交两直线
如果空间两直线相交，则它们的各组同面投影也必相交，且交点的投影必符合点的投影规律。反之，如果两直线的各组同面投影均相交，且各投影的交点符合点的投影规律，则此两直线在空间上也一定相交。
在投影图上判别空间两直线是否相交，对一般位置的两直线，只需观察两组同面投影即可。图3.53（a）中，由于ab ∩cd=ka′b′∩c′d′=k′，且kk′⊥OX，所以直线AB 与CD 相交。
图3.53 两直线是否相交的判断
但是，当两直线中有一直线平行于某一投影面时，一般还要看直线所平行的那个投影面上的投影才能确定两直线是否相交。图3.53（b）中，直线AB 和CD 的正面投影和水平投影均相交，由于AB 是侧平线，所以还需检查它们侧面投影的交点是否符合点的投影规律。从图3.53 中可以看出正面投影交点与侧面投影交点的连线不垂直于OZ 轴，所以AB 和CD 不相交。
例3.10 已知四边形ABDC 的正面投影及ABAC 的水平投影，如图3.54（a）所示，试完成其水平投影。
解 连接bcb′c′a′d′，D 点可看成△ABC 平面内一直线AE 上的一点，然后利用在平面内取点的方法求出D 点的水平投影d，如图3.54（b）所示。
图3.54 完成平面的投影
（3）交叉两直线
在空间上既不平行也不相交的两直线，称为交叉两直线。在投影图上，凡是不符合平行或相交条件的两直线都是交叉直线。
例3.11 已知直线AB和CD两直线的投影图，如图3.55 所示。试判别它们的相对位置关系。
图3.55 两直线是否交叉的判断
答：均为交叉直线。
（4）一边平行于投影面的直角的投影
角度的投影一般不反映实际角度，只有当角所在的平面平行于某一投影面时，它在该投影面上的投影才反映真实角度大小。而对于直角，当直角的两边都不平行于投影面时，其投影肯定不是直角；当直角所在的平面平行于某一投影面时，它在该投影面上的投影仍是直角，如图3.56 所示。直角的投影除具备以上性质外，还有以下特性：当一条直角边平行于某一投影面时，直角在该面上的投影仍是直角。此性质称为直角投影定理。
图3.56 中，若AB ⊥BC，且BC//H 面，如图3.56（a）所示，则有ab ⊥bc，如图3.56（b）所示。
直角投影定理既适用于互相垂直的相交两直线，也适用于交叉垂直的两直线。
图3.56 一边平行于投影面的直角的投影
例3.12 求A 点到正平线BC 的距离 ，如图3.57（a）所示。
解 求一点到某直线的距离实际上就是求过该点的直线的垂线实长。由于AD ⊥BC，BC//V，所以有a′d′⊥b′c′；求出垂线AD 的投影后，再利用直角三角形法求AD 实长，如图3.57（b）所示。
图3.57 求点到直线的距离
例3.13 已知△ABC 为等腰直角三角形，一直角边BC 在正平线EF 上，如图3.58（a）所示，试完成其投影。
图3.58 完成平面的投影
解 由于AB ⊥EF，且EF//V，所以有a′b′⊥e′f ′；利用直角三角形法求AB 实长；过b′在e′f ′上量取b′c′=AB=BC。具体过程如图3.59（b）所示。
13.4.2 直线与平面平面与平面的相对位置
（1）平行关系(www.xing528.com)
①直线与平面平行。
由初等几何可知：若平面外一直线与平面内一直线平行，则此直线与该平面平行；反之，如果一直线与某平面平行，则在此平面上必能作出与该直线平行的直线。
例3.14 过直线AB 作平面平行于直线EF，如图3.59（a）所示。
解 过直线AB 上一点A。作直线AC//EF，则相交两直线ABAC 所决定的平面即为所求，如图3.59（b）所示。
图3.59 作平面与已知直线平行
②平面与平面平行。
由初等几何可知：若一平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直线，此两平面互相平行。
例3.15 过D 点作平面与三角形ABC 平面平行，如图3.60（a）所示。
解 过D 点分别作直线DE//AB，DF//AC，则由相交两直线DEDF 构成的平面即为所求，如图3.60（b）所示。
图3.60 作平面与已知平面平行
（2）相交关系
直线与平面相交，有且只有一个交点。直线与平面的交点既在直线上，又在平面内，是直线与平面的共有点。因此，求直线与平面的交点问题，实质上就是求直线与平面的共有点问题。
平面与平面相交，交线是一条直线。求出交线上的两个共有点，连接起来就得到两平面的交线。因此，求平面与平面交线的问题，实质上就是求两平面的两个共有点的问题。
①一般位置直线与投影面垂直面相交。
当相交的两元素中有一个垂直于某投影面时，可利用其在垂直的投影面上的积聚性及交点的共有性，直接求出交点的一个投影。
如图3.61（a）所示，铅垂面△ABC 与一般位置直线EF 相交，交点M 的H 面投影m 必在平面△ABC 的H 面投影
线段上，又必在直线EF 的H 面投影ef 上，因此m 必在线段
与ef 的交点上；定出交点M 的H 面投影m 后，根据交点的共有性，m′必在e′f ′上。即过m作OX轴垂线，与e′f ′交于m′。mm′即为直线EF与平面△ABC交点M的两投影 ，如图3.61（b）所示。
图3.61 直线与平面相交
②一般位置平面与投影面垂直面相交。
如图3.62（a）所示，铅垂面△ABC 与一般位置平面DEF 相交。求它们的交线时，可把一般位置平面DEF 看成由两相交直线DFEF 构成，这样就可利用求一般位置直线与投影面垂直面交点的方法，分两次求得两交点MN，连接起来即得交线MN，如图3.62（b）所示。③投影面垂直线与一般位置平面相交。
图3.62 两平面相交
图3.63（a）中，铅垂线EF 与平面△ABC 相交于M 点。由于直线EF 的投影在H 面上有积聚性，所以交点的H 面投影与ef 积聚为一点，其V 面投影m′可用在平面内取点的方法求出，如图3.63（b）所示。
图3.63 求直线与平面的交点
（3）垂直关系
①直线与平面垂直。
由初等几何学可知，若一直线垂直于某平面，则此直线必垂直于该平面内的任何直线；反之，若一直线垂直于某平面上两相交直线，则此直线必垂直于该平面。
由上述直线与平面垂直的几何性质及直角的投影性质可以得出：若一直线与某平面垂直，则该直线的水平投影垂直于平面内水平线的投影，其正面投影垂直于平面内正平线的正平投影。相反。若一直线的水平投影垂直于某平面内水平线的水平投影，同时其正面投影垂直于平面内正平线的正面投影，则此直线与平面垂直。
例3.16 过E 点作平面垂直于直线AB，如图3.64（a）所示。
解 过E 点作水平线DE，使DE ⊥AB，所以有de ⊥ab；再过E 点作正平线EF，使EF ⊥AB，所以有e′f ′⊥a′b′，则由相交直线DEEF 构成的平面即为所求，如图3.64（b）所示。
图3.64 过点作平面垂直于已知直线
②平面与平面垂直。
由初等几何学可知：若一直线垂直于某平面，则包含此直线的任何平面都与该平面垂直。反之，若两平面互相垂直，则由一平面上任一点向另一平面所作的垂线必在前一平面上。
例3.17 过E 点作平面垂直于平面△ABC，如图3.65（a）所示。
解 过E 点作平面△ABC 的垂线EF，再过E 点作任意直线ED，则由相交直线DE，EF构成的平面即为所求，如图3.65（b）所示。
图3.65 过点平面垂直于已知平面
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