高速铁路大断面软弱围岩隧道弹塑性问题分析及施工监测方案

在弹塑性情况下，应力增量与应变增量之间的关系为：

式中：Dep为弹塑性刚度矩阵，其与塑性势函数、屈服函数、硬化函数有关。

弹塑性模型把总应变Δε分为弹性应变Δεe和Δεp两部分，即：

由于岩土介质材料的弹塑性行为与加载及变形历史有关，在进行隧道工程问题的弹塑性分析时，通常将载荷分成若干个增量，然后对每一级荷载增量，将弹塑性方程线性化，从而使弹塑性分析这一非线性问题分解为一系列线性问题。

假设对应于时刻t的载荷、位移、应变和应力已经求得，当时间过渡到t+Δt时刻（在静力分析且不考虑时间效应的情况下，t和t+Δt都只表示荷载的水平）荷载和位移条件有一增量，即：

现在要求解t+Δt时刻的位移、应变和应力，即：

它们应该满足平衡方程、几何方程、边界条件和式（7-1）表示的应力增量与应变增量之间的关系。弹塑性增量有限元分析在将加载过程划分为若干增量步长以后，对于每一增量步长包含下列三个算法步骤。

（1）线性化弹塑性本构关系，并形成增量有限元方程。

选取每一增量步长的位移增量Δδ作为基本未知量，在有限元离散后节点平衡方程为：

式中：N为形函数。(www.xing528.com)

将式（7-1）代入式（7-5）后，可得到关于Δδ的非线性方程组：

式中：K为刚度矩阵。

（2）求解增量有限元方程。

对式（7-6）采用修正的牛顿-拉普拉森切线变刚度迭代法进行求解，迭代式为：

至于常刚度迭代，取刚度K为常数，一次迭代用的常数值（图7-1）。

图7-1　常刚度迭代法

（3）检查平衡条件，并决定是否进行新的迭代。上述每一步骤的算法方案、数值方法和载荷增量步长的选择关系到整个求解过程的稳定性、精度和效率。